Infinite Monkey Theorem

24.01.2013, 20:58

Lula90

Infinite Monkey Theorem

Folgende Aufgabe:

Der unermüdliche, unsterbliche und unkündbare Affe an der Tastatur versucht, das Wort ABSCHLUSSKLAUSUR zu schreiben. Auf seiner Tastatur befi nden sich nur die 26 Großbuchstaben. Er tippt jedesmal 16 Buchstaben, die Anschläge sind unabhängig und gleichverteilt, und ein Tippversuch (16 Buchstaben) dauert 30 Sekunden. Geben Sie denErwartungswert der Anzahl der Versuche (in Jahren) an, bis erstmals wirklich"ABSCHLUSS-KLAUSUR" getippt wurde. (Der Affe braucht keinen Schlaf oder Urlaub, und er wird nie krank).

Alles klar, soweit so gut.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Affe das Wort tippt ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{26^{16} } \end{eqnarray*}$ .
Wie komme ich aber jetzt auf die Anzahl der Versuche, also den Erwartungswert?

Danke schonmal im Voraus! Augenzwinkern

24.01.2013, 21:10

McGlear

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RE: Infinite Monkey Theorem

Zitat:

Original von Lula90
Geben Sie den Erwartungswert der Anzahl der Versuche (in Jahren) an, bis erstmals wirklich"ABSCHLUSS-KLAUSUR" getippt wurde.

Das ergibt so keinen Sinn. Aus zwei Gründen:
1. Entweder ich suche eine Anzahl, oder ich suche eine Zeit.
2. (Und dieser Grund ist wichtiger): Eine solche Berechnung macht doch eigentlich nur dann wirklich Sinn, wenn man zum Beispiel nach der Zeit sucht, in der er mit 95%iger Wahrscheinlichkeit das Wort mindestens einmal geschrieben hat.

Wenn man jetzt darauf angewiesen ist, diese Aufgabe trotzdem zu lösen, würde ich die Menge an Versuchen nehmen, mit der man für die Anzahl korrekt getippter Wörter als Erwartungswert 1 bekommt (also P * n = 1). Und diese Zahl würde ich teilen durch (2*60*24*365), da er so viele Versuche im Jahr tippen kann. Aber statistische Aussagekraft im Sinne der Fragestellung hat dieser Wert dann trotzdem nicht...

EDIT:
Anschaulich und mathematisch vielleicht etwas besser formuliert ist dazu übrigens auch der Wikipedia-Artikel zu besagtem Problem...

24.01.2013, 21:21

Lula90

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Den Artikel habe ich schon gelesen, aber der behandelt auch nicht die Anzahl der Versuche.

Wenn ich ehrlich bin verstehe ich deinen Tipp zur Lösung nicht.

24.01.2013, 21:26

HAL 9000

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Naja, man kann schon die Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ... Anzahl Versuche, bis dem zum ersten Mal ABSCHLUSSKLAUSUR getippt wurde

betrachten: Die ist geometrisch verteilt mit $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{26^{16}} \end{eqnarray*}$ , und der Erwartungswert ist damit dann berechenbar. Und diesen "Erwartungswert Versuche" in "Erwartungswert Zeit" umzurechnen, kann nun wirklich nicht das Problem sein.

24.01.2013, 21:28

Kasen75

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Hallo,

meine Idee ist folgende:

Es ist jedes Mal gleichwahrscheinlich, dass das Wort "ABSCHLUSS-KLAUSUR" getippt wird. Folglich muss man den Erwartungswert der Gleichverteilung bestimmen:

$\begin{eqnarray*} E(x)=\sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ hast du schon aus gerechnet und kann sogar vor das Summenzeichen gezogen werden. Es ergibt sich ein Ausdruck, der mit der gaußschen Summenformel bewältigt werden kann.

Somit hätte man zumindest schon mal die erwarten Versuche. So ist zumindest meine Idee. smile

Grüße.

Edit:
Bei so vielen Ideen, ziehe ich mich erstmal zurück. Sonst wird es zu unübersichtlich. Werde für heute Schluss machen. Wink

Edit2: Verwerfe meine Idee und schließe mich der Idee von HAL 9000 an.

25.01.2013, 00:47

Lula90

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Ich habs jetzt so gelöst:

$\begin{eqnarray*} P(B)= \frac{1}{26} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p=P(ABSCHLUSSKLAUSUR)=(\frac{1}{26})^{16} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(x)= \frac{1}{p} = \frac{1}{2,2931 \cdot 10^{23} }=\frac{1}{4,3609 \cdot 10^{22} }\cdot 30sek \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ={1,3083 \cdot 10^{24} }sek = {1,2446 \cdot 10^{8}} Jahre \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

25.01.2013, 09:30

HAL 9000

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Du hast eine äußerst bizarre Vorstellung von der Verwendung des Gleichheitszeichens. Mit

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ... zufällige Anzahl Versuche bis zum ersten Treffer ABSCHLUSSKLAUSUR
$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ... zufällige Zeit bis zum ersten Treffer ABSCHLUSSKLAUSUR

(d.h. Zusammenhang $\begin{eqnarray*} T = X\cdot 30s \end{eqnarray*}$ ) ergibt sich

$\begin{eqnarray*} E(X) = \frac{1}{p} = 26^{16} \approx 4.3609 \cdot 10^{22} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(T) = E(X)\cdot 30s \approx 1.3083 \cdot 10^{24} s \approx 4.146 \cdot 10^{16} a \end{eqnarray*}$

also deutlich mehr Jahre, als du da ausgerechnet hast.

25.01.2013, 12:08

McGlear

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} E(X) = \frac{1}{p} = 26^{16} \approx 4.3609 \cdot 10^{22} \end{eqnarray*}$

Ist das so denn wirklich richtig?

Das ist doch nur die Anzahl an Versuchen, für die dann der Erwartungswert 1 ist... Ob dann der Treffer am Anfang, in der Mitte oder am Ende erfolgt, lässt dieser Wert ja völlig offen.

Nachdem ich drüber geschlafen habe, wäre mein Ansatz folgender:

Bei jedem Versuch gibt es nur zwei mögliche Outcomes: Erfolg oder Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg bleibt gleich. Also eigentlich erstmal ein simpler dichotomer Vorgang.

Dann wäre der Erwartungswert zu berechnen über

$\begin{eqnarray*} E(x)=\sum_{i=1}^n p_i \cdot x_i \end{eqnarray*}$

Allerdings ändert sich meiner Meinung nach das p, da es ja von i abhängt. Dass er beim ersten mal trifft ist noch einfach

$\begin{eqnarray*} p = \frac{1}{26^{16}} \end{eqnarray*}$

Beim zweiten Versuch zu treffen wäre

$\begin{eqnarray*} p = (1- \frac{1}{26^{16}}) \cdot \frac{1}{26^{16}} \end{eqnarray*}$

Das lässt sich natürlich in eine allgemeine Form bringen, die dann aber von i abhängig ist.

$\begin{eqnarray*} E(x)=\sum_{i=1}^n (1- \frac{1}{26^{16}})^{i-1} \cdot \frac{1}{26^{16}} \cdot x_i \end{eqnarray*}$

Und das müsste man dann für n gegen unendlich approximieren - wovon ich keine Ahnung habe, ob es geht... Aber vielleicht liege ich auch mit meinen Annahmen irgendwo völlig falsch...

25.01.2013, 13:05

HAL 9000

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Ich hatte oben schon die hier zutreffende Geometrische Verteilung erwähnt - lies dir das mal durch. Augenzwinkern

Zitat:

Original von McGlear
$\begin{eqnarray*} E(x)=\sum_{i=1}^n (1- \frac{1}{26^{16}})^{i-1} \cdot \frac{1}{26^{16}} \cdot x_i \end{eqnarray*}$

Und das müsste man dann für n gegen unendlich approximieren - wovon ich keine Ahnung habe, ob es geht...

Nicht $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ , sondern einfach $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , aber ansonsten ist es richtig. Und nun rate mal, was bei

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum_{i=1}^{\infty} \left(1- \frac{1}{26^{16}}\right)^{i-1} \cdot \frac{1}{26^{16}} \cdot i \end{eqnarray*}$

herauskommt. Big Laugh

25.01.2013, 13:15

McGlear

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nicht $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ , sondern einfach $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , aber ansonsten ist es richtig. Und nun rate mal, was bei

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum_{i=1}^{\infty} \left(1- \frac{1}{26^{16}}\right)^{i-1} \cdot \frac{1}{26^{16}} \cdot i \end{eqnarray*}$

herauskommt. Big Laugh

Ja, mein ich doch^^

Und letzteres hab ich schon fast befürchtet... Also Sachen gibts Augenzwinkern

Dann war ja sogar mein allererster ansatz richtig - nur hielt ich ihn beim Schreiben für falsch. Hammer

Dass nun beide Ansätze übereinstimmen, ist faszinierend.

25.01.2013, 13:19

HAL 9000

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Vielleicht hast du auch daraus gelernt, das nächste Mal wirklich alle wichtigen Erklärungen durchzulesen, bevor du Zweifel wie

Zitat:

Original von McGlear
Ist das so denn wirklich richtig?

artikulierst. Augenzwinkern

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