Lücke

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Matheblödine Auf diesen Beitrag antworten »
Lücke
eigentlich dürfte meine Frage nicht so schwer sein, aber irgendwie - hab ich trotzdem keine Ahnung und bitte euch deshalb um Rat:

Wie ist eine "Lücke" definiert?
Ich dachte immer wenn der Zähler Nulle ergibt. ( Ist es das gleiche wie ne Polstelle?!?!?!) verwirrt
Warum hat folgende Funktion keine Lücke bei x=1?

( (x³-2x²+x) * (x-2) ) / (x²-3x+2)


und warum hat folgende ein Lücke bei x=1?

( (x-1)*(x²+x-6)) / (x²+2x-3)

Bin für jede Antowrt dankbar!
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lücke
Hallo,

du hast eine gebrochenrationale, also einen Bruch von zwei Polynomen.

An einer Stelle x, wo der Zaehler 0 ist, aber der Nenner nicht 0 ist, hat die Funktion eine Nullstelle.
An einer Stelle x, wo der Nenner 0 ist, hat die Funktion eine Definitionsluecke, weil sie an der Stelle nicht definiert ist (du muesstet ja durch 0 teilen).
Ist x eine Definitionsluecke, und ist der Zaehler an der Stelle ungleich 0, dann ist diese Stelle eine Polstelle. Die Funktion waechst in der Naehe dieser Stelle ueber alle Grenzen (wird unendlich gross oder unendlich klein).
Ist der Zaehler auch 0, an einer Definitionsluecke x, dann sind weitere Untersuchungen erforderlich, um zu entscheiden, ob es sich um einen Pol handelt oder nicht. Es kann naemlich auch eine "stetig hebbare Luecke" sein.

Der Ausdruck

hat folgende Eigenschaften an der Stelle x=1:
Der Nenner ist 0 (1^2-3+2=0), der Zaehler ist 0 (1^3-2+1=0).
Du kannst den Faktor (x-1) im Zaehler und im Nenner ausklammern, und kuerzen. Ausserhalb der Luecke x=1 stimmen die beiden Ausdruecke immer noch ueberein. Tue das bitte.

Der Ausdruck

hat bei x=1 die Eigenschaft, dass sein Zaehler 0 ist, und sein Nenner ebenfalls 0 ist. Auch hier musst du also erst den Faktor (x-1) in Zaehler (ist schon) und Nenner ausklammern und kuerzen.


Gruss,
SirJective
Matheblödine Auf diesen Beitrag antworten »

und was mach ich, wenn ich das ausgeklammert hab?
wie seh ich dann obdie Funktion ne Lücke hat?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die "bösen" Linearfaktoren durch Kürzen im Nenner ganz wegfallen, dann hast du eine hebbare Lücke (Loch im Graphen).
Wenn sie nicht wegfallen, hast du einen Pol (senkrechte Asymptote beim Graphen).

P.S.
Warum nennst du dich "matheblödine"? Lücken in Mathe zu haben, ist keine Schande, solange du dich bemühst, diese zu beheben. Du mußt nur aufpassen, daß es nicht senkrecht (asymptotisch) nach unten geht.
Matheblödine Auf diesen Beitrag antworten »

Dank Dir ganz doll!!!!!
Ich kuss das mal in Ruhe nachrehnen und dann sag ich Dir was rausgekommen ist. :-)

Matheblödine ist übrigens ein zusammengesetztes Wort aus Mathe !!!(ist) !!!!! blöd und Blondine Augenzwinkern
Aber trotzdem danke für die tröstenden Worte... Ich kann sie gebrauchen und geb mein bestes! *wink*
SkyChef Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn mit den "bösen" Linearfaktoren gemeint?

Ich habe duch Polynomdivision im Nenner beim zweiten Beispiel (x-1) ausgeklammert und gekürzt, dann steht im Nenner (x+3). Woran erkenn ich jetzt das es eine hebbare Lücke hat?

Danke!

Gruß Daniel
 
 
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Die "bösen" Linearfaktoren im Nenner sind die, bei denen die Stelle ist, die du auf hebbare Lücke/Asymptote untersuchst.

PS an alle zukünftigen Helfer: der ursprüngliche Beitrag ist aus dem Jahr 2004. Es geht hier erstmal nur um die Frage von SkyChef.

EDIT

Jetzt habe ich doch glatt noch die Erklärung vergessen Hammer

Wenn du (x-1) gekürzt hast und der Linearfaktor nicht mehr im Nenner ist, dann darfst du jetzt gefahrenlos x=1 in die Funktion einsetzen. Deshalb ist an der Stelle x=1 eine hebbare Lücke.
SkyChef Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Calvin, das mit den Lücken habe ich jetzt verstanden Freude

Kannst du als Beispiel mal eine Funktion bringen, bei der man durch das Kürzen die Linearfaktoren nicht wegbekommt? Die Funktion hat dann bei der Definitionslücke einen Pol oder?
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »



Wie du schon selbst vermutet hast, hat die Funktion an der Stelle x=0 einen Pol.
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