Offenheit einer Menge in C

25.01.2013, 12:35

Niko86

Offenheit einer Menge in C

Meine Frage:
Hey Leute,

ich habe zwei Argumentationswege, welche (für mich) schlüssig sind, aber beie zu einem anderem Ergebnis bzw. einer anderen Aussage führen.

Ich betrachte folgende Menge $\begin{eqnarray*} \Omega:=\mathbb{C} \backslash [0,\infty) \end{eqnarray*}$ und setze $\begin{eqnarray*} M:=[0,\infty) \end{eqnarray*}$ .

Frage: Ist Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$
(a) bezüglich $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und
(b) bezüglich $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}\cup \{ \infty \} \end{eqnarray*}$ offen?

Meine Ideen:
Zu (a):
Ich würde sagen ja, da M bezüglich $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist und somit $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ offen.

Zu (b), dem eigentlichen Problem:

1. Argumentation: Nicht offen!

Da M bezüglich der erweiterten Ebene nicht abgeschlossen ist (wähle Folge die gegen den Punkt unendlich "konvergiert"), kann $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ nicht offen sein.

2. Argumentation: Offen!

Wie oben bereits angewendet, gilt ja der "Satz":
$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ offen genau dann $\begin{eqnarray*} \Omega^C \end{eqnarray*}$ abgeschlossen. Bildet man das Komplement von Omega bezüglich der erweiterten Ebene, erhält man doch:
$\begin{eqnarray*} [0,\infty] \end{eqnarray*}$ ,

was doch in der erweiterten Ebene abgeschlossen ist.

Welche Aurgumentation ist richtig und wo ist der Fehler?

Vielen Dank für weitere Hilfe!

Gruß

Niko

25.01.2013, 15:09

Che Netzer

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RE: Offenheit einer Menge in C

Zitat:

Original von Niko86
Da M bezüglich der erweiterten Ebene nicht abgeschlossen ist (wähle Folge die gegen den Punkt unendlich "konvergiert"), kann $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ nicht offen sein.

Das Komplement von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb C\cup\{\infty\} \end{eqnarray*}$ ist aber nicht $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

25.01.2013, 15:21

Niko86

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Ahhh...Also liegt da der Fehler und sonst ist die restliche Argumentation richtig, d.h. die Menge Omega ist sowohl in der komplexen Ebene als auch in der erweiterten offen?

25.01.2013, 15:26

Che Netzer

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Genau. Wenn du die Riemannsche Zahlensphäre kennst, kannst du dir die Offenheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb C\cup\{0\} \end{eqnarray*}$ auch gut bildlich vorstellen.

26.01.2013, 13:29

niko86

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Hallo Che Netzer,

danke für deine Hilfe. Jetzt habe ich das eine Problem gelöst, aber damit ein anderes leider offen gelassen :-) . Ich würde mcih freuen, wenn du mir noch einmal Helfen könntest und meinen Fehler findest bei folgender Argumentation.

Man definiert folgendes Produkt für zwei Mengen A und B in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}_\infty \end{eqnarray*}$ = erweiterte Ebene:

$\begin{eqnarray*} A \ast B :=\mathbb{C_\infty} \backslash ( \mathbb{C_\infty} \backslash A \cdot \mathbb{C_\infty} \backslash B) \end{eqnarray*}$
(A und B so, dass $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \infty \end{eqnarray*}$ nicht vorkommen kann und jedes Element mit jedem multiplizieren)

Jetzt gibt es zwei Sätze (sind schon bewiesen):

Satz 1:
Sind $\begin{eqnarray*} A,B\subset \mathbb{C_\infty} \end{eqnarray*}$ offen, dann ist $\begin{eqnarray*} A \ast B \end{eqnarray*}$ offen.

Satz 2:

Sind $\begin{eqnarray*} A,B\subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , dann ist
$\begin{eqnarray*} A \ast B= \mathbb{C} \backslash ( \mathbb{C} \backslash A \cdot \mathbb{C} \backslash B) \end{eqnarray*}$

Jetzt ein Beispiel, wo sich beide Sätze wiederprechen:

$\begin{eqnarray*} A:=\mathbb{C} \backslash [0,\infty) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B:=\mathbb{C} \backslash \{i+e^{it} \colon t \in [-\pi /2, \pi/2]\} \end{eqnarray*}$

1) Beide Mengen sind sowohl in der komplexen Ebene, als auch in der erweiterten abgeschlossen

2) $\begin{eqnarray*} (\mathbb{C} \backslash A \cdot \mathbb{C} \backslash B)= \{ z \in \mathbb{C} \colon Re(z)\geq 0, Im(z)>0\}\cup \{0\} \end{eqnarray*}$
Das ist sowohl in der Ebene, als auch in der erweiterten NICHT abgeschlossen und somit das Komplement nicht offen (in beiden "Ebenen")

3) Nach Satz 1 ist $\begin{eqnarray*} A \ast B \end{eqnarray*}$ offen

4) Nach Satz 2 :

$\begin{eqnarray*} A \ast B = \mathbb{C} \backslash ( \mathbb{C} \backslash A \cdot \mathbb{C} \backslash B) \end{eqnarray*}$

Links steht eine offene Menge, rechts nicht !?!?!?!?!?!?!

Wo ist mein Fehler?

Ich danke dir / euch recht herzlich, falls mir das jemand sagen kann!

Viele Grüße

Niko

26.01.2013, 13:46

Che Netzer

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$\begin{eqnarray*} \mathbb C_\infty\setminus A \end{eqnarray*}$ enthält die Null, $\begin{eqnarray*} \mathbb C_\infty\setminus B \end{eqnarray*}$ enthält Unendlich (und sogar umgekehrt genauso), also dürfte $\begin{eqnarray*} A*B \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert sein, oder?

D.h. Satz 2 lässt sich nur anwenden, wenn sowohl $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Null enthalten.

26.01.2013, 13:54

niko86

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Also das erste Argument ist glaubig richtig, d.h. Satz 1 ist nicht anwendbar!

Aber zu Satz 2: Wieso muss die Null in beiden drin sein? Bei mir steht der Satz 2 genau so Formuliert und der Beweis braucht keine Null im schnitt.

26.01.2013, 13:57

Che Netzer

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Satz 2 sagt aber etwas über $\begin{eqnarray*} A*B \end{eqnarray*}$ aus, was dazu überhaupt erst definiert sein muss.
Und wenn $\begin{eqnarray*} A,B\subset\mathbb C \end{eqnarray*}$ , dann enthalten deren Komplemente in $\begin{eqnarray*} \mathbb C_\infty \end{eqnarray*}$ jeweils Unendlich; es darf also kein Komplement davon auch die Null enthalten.

26.01.2013, 14:07

niko86

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ich glaub da ist der Haken. * ist wohldefniniert, wenn man folgende Konvention trifft:

Wenn unendlich in B Komplenent => 0 soll ich A sein

Wenn unendlich in A komplement => 0 soll in B sein.

Bei den Sätzen 1 und 2 muss jeweils am Anfang noch stehen, dass A und B der Konvention genügen.

Und in meinem Beispiel ist diese Konvention nicht erfüllt, also die Sätze nicht anwendbar.

Ich dachte wenn ich zwei Mengen in der "normalen" Ebene habe , dass diese Konvention immer erfüllt ist. Aber wenn man das Komplement bezüglich der erweiterten bildet, dann in der regel nicht!

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