Homogenität der partiellen Ableitung einer homogenen Funktion

25.01.2013, 17:13	Tyro2010	Auf diesen Beitrag antworten »
Homogenität der partiellen Ableitung einer homogenen Funktion Meine Frage: Hallo Leute, die Aufgabenstellung lautet: Beweisen Sie: Ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ partiell di erenzierbar und homogen vom Grad r, dann sind die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray} \partial_j, j=1,...,n \end{eqnarray}$ homogen vom Grad $\begin{eqnarray} r-1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hab hier wie folgt angefangen: $\begin{eqnarray} \partial_jf(\lambda x)=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} [f(\lambda (x_1,...,x_j+h,...x_n)-f(\lambda x)]=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \lambda ^r[f(x_1,...,x_j+h,...x_n)-f(x)]= \lambda ^r \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}[f(x_1,...,x_j+h,...x_n)-f(x)]= \lambda ^r \partial_jf(x) \end{eqnarray}$ leider müsste hier nun $\begin{eqnarray} \lambda ^{r-1} \partial_jf(x) \end{eqnarray}$ stehen. Eine andere Idee wäre oben $\begin{eqnarray} \lambda = h \end{eqnarray}$ zu wählen dann käme ich auf $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} h^{r-1}[f(x_1,...,x_j+h,...x_n)-f(x)]=\lambda ^{r-1}\partial_jf(x) \end{eqnarray}$ hier ist dann allerdings der Grenzübergang SEHR schwammig. Könnt ihr mir weiterhelfen? Danke!
25.01.2013, 17:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homogenität der partiellen Ableitung einer homogenen Funktion Du hast $\begin{eqnarray} f(\lambda (x+he_i)) \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} f(\lambda x+he_i) \end{eqnarray}$ betrachtet.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »