Grenzwert

26.01.2013, 11:51	bxxxb	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Meine Frage: Hallo Leute, ich habe folgende Angabe $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } (\frac{x+c}{x-c} )^{x} =4 \end{eqnarray}$ Wäre super wenn ihr mir weiter helfen könntet. Liebe Grüße Meine Ideen: Ich habe schon versucht der ganzen Sache mit Konvergenzkriterien näher zu kommen, aber bisher erfolglos.
26.01.2013, 13:18	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Wie lautet denn die Aufgabe? Sollst du c so bestimmen, dass der Grenzwert=4 ergibt? Betrachte zunächst nur die linke Seite: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}(\frac{x+c}{x-c})^{x}=\lim_{x\to\infty}e^{x \ln \left(\frac{x+c}{x-c}\right)} \end{eqnarray}$ . Bringe die Potenz von e in eine der erlaubten Formen für den de l'Hospital und bestimme damit den Grenzwert des Exponenten. Dieser hängt von c ab. Daraus kann schließlich c so berechnet werden, dass $\begin{eqnarray} e^{Grenzwert}=4 \end{eqnarray}$ ergibt.
26.01.2013, 14:06	bxxxb	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für deine Hilfe Ich habe mich an deine Anweisungen gehalten und habe jetzt $\begin{eqnarray} e^{\lim_{x \to \infty } \frac{f'(x)}{g'(x)}} = e^{\lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2c}{c^{2}-x^{2}} }{-1} } \end{eqnarray}$ Nur wie komm ich jz weiter? Wenn ich den Grenzwert des Exponenten ausrechne komme ich auf $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } (\frac{-2c}{x^{2}-c^{2}} ) =0 \end{eqnarray}$
26.01.2013, 18:17	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Grenzwertberechnung ist nicht richtig. De l'Hospital ist nur anwendbar bei Ausdrücken $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \mbox{, } \frac{-\infty}{-\infty} \mbox{ und } \frac{0}{0} \end{eqnarray}$ . Du musst den Ausdruck erst geeignet umformen, bevor du $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ definierst. Berechnung des Grenzwerts ohne de l'Hospital aber Berücksichtigung von $\begin{eqnarray} e^x=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x = \\<br /> \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x-c+2c}{x-c}\right)^x = \\<br /> \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{2c}{x-c}\right)^x= \\<br /> \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{2c}{x-c}\right)^{x-c}\cdot \left(1+\frac{2c}{x-c}\right)^c \stackrel{s.o.}= <br /> e^{2c}\cdot 1 \end{eqnarray}$ Versuche die einzelnen Rechenschritte nachzuvollziehen, um daraus zu lernen.

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