Ebenen - Berechnungen

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26.01.2013, 13:02	MatheIstCool!	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenen - Berechnungen Meine Frage: Gegeben sei eine Ebene E im $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ mit der folgenden Darstellung $\begin{eqnarray} (r,s \in \mathbb R): \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e(r,s) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Geben sie Den Kosinus des Winkels zwischen den beiden Richtungsvektoren an. b) Bestimmen Sie einen Normalenvektor der Ebene. c) Berechnen Sie die Fläche des Parallelogramms, das von den beiden Richtungsvektoren der Ebene aufgespannt wird. d) Berechnen Sie in welchem Punkt eine Gerade, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Ursprung geht, die Ebene schneidet. e) Berechnen Sie den Abstand der Ebene vom Ursprung. Betrachten Sie nun eine weitere Ebene F mit der Darstellung $\begin{eqnarray} (\lambda , m \in \mathbb R): \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e(\lambda ,m) = \vec{b} + \lambda * \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + m * \vec{r} \end{eqnarray}$ f) Bestimmen Sie den unbekannten Richtungsvektor so, dass die neue Ebene F zur ersten Ebene E parallel ist. g) Finden Sie einen Aufpunkt so, dass die beiden Ebenen den Abstand $\begin{eqnarray} \sqrt{14} \end{eqnarray}$ voneinander haben. Meine Ideen:* Hallo, ich habe von a) - f) alle Aufgaben berechnet und würde euch bitten, zu überprüfen, ob ich das alles korrekt gemacht habe. Und wenn ich es korrekt gemacht habe, wäre ein Tipp super, wie ich Aufgabe g) berechnen kann. a) Winkel zwischen zwei Vektoren: $\begin{eqnarray} (\vec{r} \vec{s}) / (\| \vec{r} \| * \| \vec{s} \|) \end{eqnarray}$ ist ungefähr 47.14° b) Normalenvektor ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c) Fläche des Parallelogramms, ist der Betrag des Normalenvektors: $\begin{eqnarray} \sqrt{14} \end{eqnarray}$ d) Senkrecht auf der Ebene steht der Normalenvektor, das heißt ich nutze folgende Gerade: $\begin{eqnarray} g(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , bringe dann die Ebene in Koordinatenform: $\begin{eqnarray} E:1x -3y + 2z = 1 \end{eqnarray}$ (1 = Normalenvektor Ortsvektor der Ebene) und setze dann die Gerade in die Ebene ein, sodass für t = 1/14 rauskommt. Anschließend setze ich 1/14 in die Gerade ein und bekomme als Schnittpunkt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1/14 \\ -3/14 \\ 2/14 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ e) Um den Abstand zu bekommen, würde ich wieder die Koordinatenform der Ebene nutzen: $\begin{eqnarray} E:1x -3y + 2z = 1 \end{eqnarray}$ und dann den Punkt (0, 0, 0) einsetzen und das ganze durch die Länge des Normalenvektor teilen: $\begin{eqnarray} \frac{10 + (-3) * 0 + 2 * 0 -1}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{14} \end{eqnarray*}$ Wie gesagt, wäre super wenn mir einer sagen könnte, ob ich das ganze korrekt gerechnet habe und ob man mir nun Tipps für die g) geben könnte Freue mich auf Antworten
26.01.2013, 13:24	MatheIstCool!	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja, hab die f) vergessen f) Ich kann einfach einen der beiden Richtungsvektoren der Ebene E nutzen oder?
26.01.2013, 13:49	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Bitte zwschen Kosinuswerten und Winkeln unterscheiden. $\begin{eqnarray} cos(\varphi)\approx 0{,}4714 \end{eqnarray}$ f) Ja. Hast Du Dir auch überlegt, warum? g) Du kannst die Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellen: $\begin{eqnarray} n_1x+n_2y+n_3z=d \end{eqnarray}$ d kannst Du mit der HNF bestimmen, den Abstand und einen Punkt der ersten Ebene kennst Du ja bereits. (Zwei Lösungen). Edit: Oder gleich einen Aufpunkt mit der HNF aus Aufgabe e) geschickt "erraten". Die Aufgabenstellung möchte ja nur irgendeinen Aufpunkt wissen.
26.01.2013, 14:01	MatheIstCool!	Auf diesen Beitrag antworten »
f) es gibt hier unendlich viele Vektoren die möglich wären oder? In dem Fall hab ich mir gedacht, dass der gleiche Untervektorraum im r^2 gebildet wird und ich deshalb einfach den Richtungsvektor verwenden kann g) Die Ebenengleichung hatte ich schon $\begin{eqnarray} E:1x -3y + 2z = 1 \end{eqnarray}$ , der Abstand ist $\begin{eqnarray} \sqrt{14} \end{eqnarray}$ aber einen Punkt, für den der Abstand gilt, kenn ich leider nicht. Ist der Rest korrekt?
26.01.2013, 14:11	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
f) Ja. Bei g) meinte ich eine Koordinatengleichung der neuen Ebene. Ich hatte allerdings später noch einen einfacheren Ansatz in meinen Beitrag hineineditiert. Bis auf a) war der Rest in Ordnung. Evtl schreibt ihr in der Schule auch noch FE als Einheit hinter Flächenangaben.
26.01.2013, 14:21	MatheIstCool!	Auf diesen Beitrag antworten »
In Aufgabe e) hatte ich folgende HNF: $\begin{eqnarray} \frac{1 0 + (-3) * 0 + 2 * 0 -1}{\sqrt{14}} = \frac{-1}{\sqrt{14}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{-1}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{14} \end{eqnarray}$ Aber wie finde ich nun den anderen Punkt? Ich müsste ja dann irgendwas rausbekommen wie: $\begin{eqnarray} \frac{2 * \sqrt{14}}{\sqrt{14}} \end{eqnarray*}$
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26.01.2013, 14:35	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf der rechten Seite der Gleichung möchtest Du $\begin{eqnarray} \frac{14}{\sqrt{14}} \end{eqnarray}$ herausbekommen. Und nun wird links nicht $\begin{eqnarray} (0\|0\|0) \end{eqnarray}$ eingesetzt, sondern $\begin{eqnarray} P(x\|y\|z) \end{eqnarray}$ , wobei Du für so viele Koordinaten wie möglich Null einsetzen solltest.
26.01.2013, 15:11	MatheIstCool!	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso denn $\begin{eqnarray} \frac{14}{\sqrt{14}} \end{eqnarray}$ Es soll doch $\begin{eqnarray} \sqrt{14} \end{eqnarray}$ rauskommen! Bahnhof
26.01.2013, 15:12	MatheIstCool!	Auf diesen Beitrag antworten »
achso... das ist ja das gleiche... ok gecheckt danke
26.01.2013, 15:18	MatheIstCool!	Auf diesen Beitrag antworten »
Also würde der Aufpunkt (5 \| -4 \| -1) funktionieren? Wie könnte ich das denn überprüfen? Wenn die Ebenen den Abstand $\begin{eqnarray} \sqrt{14} \end{eqnarray}$ voneinander haben, heißt das ja nicht, dass die beiden Aufpunkte auch den Abstand $\begin{eqnarray} \sqrt{14} \end{eqnarray}$ voneinander haben. Die können ja viel weiter von einander entfernt sein. Wie lässt sich das also nun überpüfen?
26.01.2013, 15:43	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Aufpunkt ist richtig. Der Ansatz (x\|0\|0) hätte auch funktioniert und zu einer möglichen Lösung (15\|0\|0) geführt. Überprüfung meines Punktes mit der HNF: $\begin{eqnarray} \frac{1 \cdot 15 -3\cdot 0+2\cdot 0-1}{\sqrt{14} } =\frac{14}{\sqrt{14}} \end{eqnarray}$ Deinen Aufpunkt kannst Du nun selbst überprüfen. Bei dieser Prüfung wird nicht der Abstand zwischen zwei Aufpunkten, sondern der Abstand des neuen Punktes zur alten Ebene bestimmt. Alternativ könntest Du natürlich auch eine Lotgerade durch den Punkt mit der Ebene schneiden und den Abstand zu diesem Schnittpunkt berechnen.
26.01.2013, 15:45	MatheIstCool!	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
26.01.2013, 15:48	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen!

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