beidseitig begrenztes Konfidenzintervall

26.01.2013, 13:53

kurotori

beidseitig begrenztes Konfidenzintervall

Meine Frage:
Nach stundenlangen Herumrechnen bin ich zu dem Entschluss gekommen, dass in meinem Mathebuch wohl ein Fehler ist.
Bei der Erklärung des nach unten abgegrenzen Konfidenzintervalles steht folgendes:
(ich verwende m statt my, I statt Phi, y statt gamma und s statt sigma, damit keine Probleme mit der Darstellung auftreten)

$\begin{eqnarray*} [m-I^{-1}(y)\times \frac{s}{\sqrt{n}};\infty[ <br /> \end{eqnarray*}$

mit m=500 s=12,5 y=0,95 n=150

[ $\begin{eqnarray*} 500-1,645\times \frac{12,5}{\sqrt{150} };\infty [<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

also wird hier für $\begin{eqnarray*} I^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ das z eingesetzt, bei dem I(z)=0,95=y gilt.

Nun steht allerdings im nächsten Abschnitt bei der Erklärung zum beidseitig begrenzten Konfidenzintervall folgendes:

Aus y=2I(z)-1 folgt $\begin{eqnarray*} I(z)=\frac{1+y}{2} \end{eqnarray*}$
daher $\begin{eqnarray*} I^{-1}(\frac{1+y}{2})=z \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

logische Schlussfolgerung: $\begin{eqnarray*} I^{-1}(\frac{1+y}{2}) \end{eqnarray*}$ kann nicht gleich $\begin{eqnarray*} I^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ sein.

Rechnet man bei einem nach untern abgegrenzten Konfidenzintervall mit $\begin{eqnarray*} I^{-1}(y)=z \end{eqnarray*}$ kommt laut Lösungen das Richtige heraus.

Rechnet man allerding bei einem beidseitig begrenzten Konfidenzintervall mit $\begin{eqnarray*} I^{-1}(\frac{1+y}{2})=z \end{eqnarray*}$ so kommt laut Lösungen das Falsche heraus, obwohl im Buch deutlich steht: $\begin{eqnarray*} I^{-1}(\frac{1+y}{2})=z \end{eqnarray*}$

Ich möchte nun eigentlich nur wissen was für $\begin{eqnarray*} I^{-1}(\frac{1+y}{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ einzustezen ist.

Vielen Dank für eine Antwort!

27.01.2013, 11:51

Huggy

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RE: beidseitig begrenztes Konfidenzintervall

Zitat:

Original von kurotori
Bei der Erklärung des nach unten abgegrenzen Konfidenzintervalles steht folgendes:
(ich verwende m statt my, I statt Phi, y statt gamma und s statt sigma, damit keine Probleme mit der Darstellung auftreten)

$\begin{eqnarray*} [m-I^{-1}(y)\times \frac{s}{\sqrt{n}};\infty[ \end{eqnarray*}$

Wieso?

$\begin{eqnarray*} [\mu-\varPhi ^{-1}(\gamma) \frac{s}{\sqrt{n}},\infty[ \end{eqnarray*}$

ist doch viel verständlicher! s habe ich stehen gelassen, weil da der Schätzwert der Standardabweichung steht und nicht die Standardabweichung selbst. Entsprechend wäre das einseitige, nach oben abgegrenzte Konfidenzintervall:

$\begin{eqnarray*} ]-\infty ,\mu+\varPhi ^{-1}(\gamma) \frac{s}{\sqrt{n}}] \end{eqnarray*}$

Beim Übergang zum zweiseitigen Konfidenzintervall scheinst du etwas falsch verstanden zu haben. Das zweiseitige Konfidenzintervall zu einem $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} [\mu-\varPhi ^{-1}(\frac {1+\gamma)}{2}) \frac{s}{\sqrt{n}}, \mu+\varPhi ^{-1}(\frac {1+\gamma)}{2}) \frac{s}{\sqrt{n}}] \end{eqnarray*}$

27.01.2013, 13:26

kurotori

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RE: beidseitig begrenztes Konfidenzintervall
Die Formeln sind mir ja bekannt, ich weiß nur nicht, was für $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(\frac{1+\gamma}{2}) \end{eqnarray*}$ einzusetzen ist.

27.01.2013, 13:57

Huggy

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RE: beidseitig begrenztes Konfidenzintervall
Na, $\begin{eqnarray*} \varPhi^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ ist doch die Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung, also die Stelle, an der die Standardnormalverteilung $\begin{eqnarray*} \varPhi (z) \end{eqnarray*}$ den Wert x animmt:

$\begin{eqnarray*} \varPhi ^{-1}(x)= z \leftrightarrow \varPhi(z)=x \end{eqnarray*}$

Angenommen, du suchst ein zweiseitiges 95 %-Konfidenzintervall für den Mittelwert deiner Normalverteilung. Es ist also $\begin{eqnarray*} \gamma=0.95 \end{eqnarray*}$ . Dann hast du

$\begin{eqnarray*} \frac {1+\gamma}{2}=0.975 \end{eqnarray*}$

Du brauchst also $\begin{eqnarray*} \varPhi^{-1}(0.975) \end{eqnarray*}$ . Wenn du eine Tabelle der Standardnormalverteilung benutzt, schaust du nach, wo diese den Wert 0.975 annimmt. Du findest:

$\begin{eqnarray*} \varPhi(1.96) \approx 0.975 \rightarrow \varPhi^{-1}(0.975) \approx 1.96 \end{eqnarray*}$

Dein zweiseitiges 95 %-Konfidenintervall ist also:

$\begin{eqnarray*} [\mu-1.96 \frac {s}{\sqrt n}, \mu+1.96 \frac {s}{\sqrt n}] \end{eqnarray*}$

Wenn du einen modernen Taschenrechner benutzt, kennt der vermutlich die Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung.

27.01.2013, 14:32

kurotori

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RE: beidseitig begrenztes Konfidenzintervall
vielen Dank Big Laugh

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