A injektv <=> A^T A bijektiv

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Matrice Auf diesen Beitrag antworten »
A injektv <=> A^T A bijektiv
Hallo!

Sei A eine reelle mxn Matrix. Ich soll zeigen, dass A genau dann injektiv ist, wenn bijektiv ist.

Meine Ideen: Für n>m ist die Sache klar, denn da ist A nie injektiv und natürlich auch nie , denn ist ja eine nxn-Matrix mit Rang maximal m. Für n=m ist die Sache natürlich auch klar wegen der Determinante (det^2=0 <=> det=0). Aber für den interessanten Fall m>n ist mir noch nichts eingefallen. Wisst ihr da weiter?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Fallunterscheidung hatt ich für unnötig.

Die Rückrichtung geht sehr schnell: Ist so auch

Zur Hinrichtung:
so auch und so auch
Matrice Auf diesen Beitrag antworten »

Also deine erste Zeile zeigt, wenn A nicht injektiv ist, ist es auch nicht . Das ist einfach, aber die andere Richtung verstehe ich nicht recht. Hier muss ich doch annehmen, sei nicht injektiv, also für ein von 0 verschiedenes x und zeigen, dass es ein von 0 verschiedenes y mit Ay=0 gibt.
Matrice Auf diesen Beitrag antworten »

Bekommt das keiner raus?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matrice
Bekommt das keiner raus?

Doch, ich (zumindet für reelle Matrizen).

Also wenn injektiv ist, dann natürlich auch , denn sonst gäbe es ein mit , das implizierte aber .

Nun die schwierigere Richtung: Sei A also injektiv. Wir wählen einen Vektor x mit und definieren . Dann gilt also , also auch , jedoch ist . Hat y nur reelle Einträge, so hätten wir also y=0. Da A injektiv ist, folgt daraus x=0. Also ist injektiv.

Man müsste sich mal überlegen, ob man den Beweis auf beliebige Körper ausdehnen kann.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathinitus
Man müsste sich mal überlegen, ob man den Beweis auf beliebige Körper ausdehnen kann.


Ne, geht nicht. Bei klappt es schon nicht mehr: .
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

In muss man natürlich noch komplex konjugieren.

Allgemein tut es die Adjungierte Abbildung.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
In muss man natürlich noch komplex konjugieren.

Allgemein tut es die Adjungierte Abbildung.


Klar, wenn man noch konjugiert kann man den Beweis von mir 1 zu 1 übernehmen. Die Frage ist nur, was mache ich, wenn ich einen beliebigen Körper habe?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Gilt die Aussage für beliebige Körper überhaupt? Betrachte den Körper und
. Dann ist
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Gilt die Aussage für beliebige Körper überhaupt? Betrachte den Körper und
. Dann ist

Dass die Aussage für beliebige Körper nicht gilt, habe ich bereits in meinem Post von 01:16:15 Uhr gezeigt. Meine Frage in meinem letzten Post war, ob man statt der Transposition eine vom Körper abhängige einfache Modifikation der Transposition vornehmen kann (so wie zum Beispiel in C), so dass man damit die Injektivität von rettet, wobei * diese spezielle Modifikation der Transposition darstellt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Im Allgemeinen tut es die adjungierte Abbildung, wie ich bereits geschrieben habe.

Dafür braucht man nur ein reguläres Skalarprodukt, wenn ich mich gerade nicht irre.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Im Allgemeinen tut es die adjungierte Abbildung, wie ich bereits geschrieben habe.
Dafür braucht man nur ein reguläres Skalarprodukt, wenn ich mich gerade nicht irre.

Ich kenne Skalarprodukte nur über R oder C. Dementsprechend auch adjungierte Abbildungen. Gibt es also eine allgemeinere Definition von Skalarprodukt als die übliche (mir bekannte)?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ist , so ist ein -Skalarprodukt eine Abbildung , die linear in der 1. Komponente und -semilinear (d.h. zieht man einen Faktor raus, wirkt auf ihn) in der 2. Komponente ist.

Ist solch eine Abbildung auch noch nichtausgeartet, so kann man die Adjungierte Abbildung eindeutig vermöge definieren.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, es ist keinerlei Symmetrie gefordert? Im Falle K=C hat man ja . Das wird aber nicht in deiner allgemeineren Definition verlangt?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathinitus
Klar, wenn man noch konjugiert kann man den Beweis von mir 1 zu 1 übernehmen. Die Frage ist nur, was mache ich, wenn ich einen beliebigen Körper habe?

und ich sagte, dass die Aussage dann nicht gilt.

Übrigens schriebst du zuvor nur, dass dein Beweis mit nicht funktioniert. Über die Aussage an sich sagtest du nichts.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Unfug. Vergiss einfach, was ich schrieb. Forum Kloppe
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathinitus
Das heißt, es ist keinerlei Symmetrie gefordert? Im Falle K=C hat man ja . Das wird aber nicht in deiner allgemeineren Definition verlangt?


Nein, für die adjungierte Abbildung braucht man auch keine Symmetrie.

PS: Das mit dem "Beim Vertauschen wirkt " nennt man glaube ich auch unitär.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Welches Buch würdest du empfehlen, wenn man mehr darüber erfahren wollte?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch es mal damit:

http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-8348-9710-7/page/1

Ich kenn das Buch nicht, aber das war die einzige Literaturangabe, die unser Prof damals in LA II gemacht hat. Ich kann dir aber nichts versprechen.


PS: Um nochmal was klarzustellen: Für die Adjungierte Abb. braucht man keine Zusatzvorraussetzungen. Im Kontext der Aufgabe braucht man jedoch schon noch etwas mehr, wenn man nachweisen will. Hinreichend wären z.B :

- Das Skalarprodukt ist positiv definit. Damit fällt natürlich ein allgemeiner Körper weg. Das wollten wir ja nicht.

- ist surjektiv. Im Kontext der Aufgabe natürlich auch nicht passend.


Trotzdem lässt sich das Prinzip natürlich für jeden Körper verallgemeinern. Schließlich sind Vektorräume injektive Objekte. Es gibt aber natürlich keine kanonische Wahl. (Die Adjungierte hängt ja beispielsweise auch immer von einem Skalarprodukt ab)
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