Zufallsvariablen: Kovarianz berechnen

26.01.2013, 16:27	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariablen: Kovarianz berechnen Meine Frage: Hallo, ich lerne gerade für meine Klausur und habe in einer Altklausur eine Frage gefunden, bei der ich absolut nicht weiterkomme. Gegeben ist: In einem Krug befinden sich 3 nummerierte Bälle (nummeriert mit den Zahlen 1 bis 3). Es werden nacheinander 5 Bälle gezogen. Jeder gezogene Ball wird wieder zurückgelegt. a) Es wird definiert: X - Die Häufigkeit, die der Ball mit Nummer 1 erscheint Y - Die Häufigkeit, die der Ball mit Nummer 2 erscheint Z - Die Häufigkeit, die der Ball mit Nummer 3 erscheint Berechnen Sie $\begin{eqnarray} Cov(X,Z+Y) \end{eqnarray}$ . b) Es ist gegeben, dass die Nummer 1 zweimal erscheint. Was ist die Wahrscheinlich dafür, dass auch die Nummer 2 zweimal erscheint? Meine Ideen: a) Aufgrund der Eigenschaten der Kovarianz weiß ich, dass $\begin{eqnarray} Cov(X,Z+Y) = Cov(X,Z) + (Cov(X,Y) \end{eqnarray}$ ist. Ich weiß auch, dass $\begin{eqnarray} Cov(X,Z) = -nP(X)P(Z) \end{eqnarray}$ . Das gleich gilt natürlich auch für $\begin{eqnarray} Cov(X,Y] \end{eqnarray}$ . Außerdem weiß ich, dass X,Y,Z multinomial verteilt sind: $\begin{eqnarray} (X,Y,Z) \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} Multi(5, \frac{1}{3} , \frac{1}{3} , \frac{1}{3} ) \end{eqnarray}$ . Hier hänge ich aber. Wenn ich nämlich diese Formel $\begin{eqnarray} Cov(X,Z) = -nP(X)P(Z) \end{eqnarray}$ verwenden will, erhalte ich, dass die Kovarianz gleich 0 ist, was sie aber nicht ist. Die Zufallsvariablen sind ja nicht unabhängig voneinander. Also hatte ich überlegt folgende Formel zu verwenden: $\begin{eqnarray} Cov(X,Z+Y) = (E(XZ)- E(X)E(Z)) + E(XY)- E(X)E(Y) \end{eqnarray}$ . Jebei komme ich hiermit auch nicht weiter. b) Diese Aufgabe besteht ja nur aus Kombinatorik, aber trotzdem bekomme ich sie nicht hin. Wir suchen also $\begin{eqnarray} P(Y=2\|X=2) \end{eqnarray}$ . In diesem Fall ist $\begin{eqnarray} Y=2\|X=2 \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} Bin(3, \frac{1}{2} ) \end{eqnarray}$ , wenn ich mich nicht irre. Um mein Ergebnis zu finden gilt: $\begin{eqnarray} P(Y=2\|X=2) = \frac{P(X=2,Y=2,Z=1)}{P(X=2)} \end{eqnarray}$ . Leider tue ich mich aber schwer damit, die Wahrscheinlichkeiten richtig zu berechnen. Ich würde mich sehr über Hilfe freuen! Danke!
26.01.2013, 16:42	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zufallsvariablen: Kovarianz berechnen a) habe ich nun doch gelöst. Natürlich stimmt es nicht, dass $\begin{eqnarray} Cov(X,Z)+Cov(X,Y) = -nP(X)P(Z) + (-n)P(X)P(Y) \end{eqnarray}$ gleich 0 ist. Da habe ich eine Vorzeichenfehler gemacht... Ich würde mich trotzdem noch sehr über Tipps zu b) freuen.

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