Äußere Ableitung berechnen

26.01.2013, 17:24

hilbert123

Äußere Ableitung berechnen

Meine Frage:
Ich soll folgendes ausrechnen:

[latex]
d(u dx\wedge dy + v dz\wedge dx + w dx\wedge dy)
[\latex]

Meine Ideen:
[latex]
d(u dx\wedge dy + v dz\wedge dx + w dx\wedge dy) =
du\wedge d(dx\wedge dy) + dv\wedge d(dz\wedge dx) + dw\wedge d(dx\wedge dy))=du\wedge d(d(x))\wedge dy+dx\wedge d(d(y))[\latex] usw. und d(d(.)) ist doch hier eh immer 0 oder nicht?

26.01.2013, 18:21

chris95

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Leider ist es nicht lesbar.

Denke daran mit [/latex] die Klammer zu schliessen. Ausserdem gehe immer zuerst auf Vorschau, bevor du den Beitrag veroeffentlichst.

26.01.2013, 19:27

hilbert123

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Die frage ist, wenn ich folgendes ausrechnen soll: (Ist es so richtig gerechnet?)

d(x dy ^ dz) = dx (d(dy^dz))= dx (ddy^dz+dy^ddz)=dx(0^dz+dy^0)=dx

Ich glaube, dass das total falsch ist, kann mir jemand an einem einfach beispiel erklären wie man diese Ableitung bildet?

Der Latexeditor funktioniert bei mir komischerweise gerade nicht.

Schonmal vielen Dank

26.01.2013, 19:29

chris95

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Er sollte schon funktionieren. Bitte versuchs nochmals.

27.01.2013, 11:38

hilbert123

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$\begin{eqnarray*} d(x dy \wedge dz) = dx (d(dy\wedge dz))= dx (ddy\wedge dz+dy\wedge ddz)=dx(0\wedge dz+dy\wedge 0)=dx \end{eqnarray*}$

Hoffe jetzt kann etwas dazu sagen, da sich ein ^ so viel schwieriger lesen lässt als ein $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$

27.01.2013, 12:16

chris95

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Naja du rechnest es doch so aus:

$\begin{eqnarray*} d ( x dy \wedge dz ) = \frac{\partial x }{\partial x} dx \wedge dy \wedge dz = dx \wedge dy \wedge dz \end{eqnarray*}$

Damit biste doch dann schon feritg.

Du musst nur immer auf die Komponenten von einem Wedge achten und beachten.

Bedenke auch $\begin{eqnarray*} d \, o \, d = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dx \wedge dx =0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich dir schon helfe, dann kann man ja eine gewisse Muehe deinerseits auch erwarten.

27.01.2013, 12:36

hilbert123

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Wäre die komplette Aufgabe dann so richtig?

$\begin{eqnarray*} d(u dx\wedge dy + v dz\wedge dx + w dx\wedge dy)=\frac{\partial u}{\partial x}dx\wedge dy +\frac{\partial v}{\partial y}dz\wedge dx+\frac{\partial w}{\partial z}dx\wedge dy \end{eqnarray*}$

Ich dachte immer das ginge anders oO bzw. denke ich dass das falsch ist.

27.01.2013, 13:09

chris95

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Zitat:

Original von hilbert123
$\begin{eqnarray*} d(u dx\wedge dy + v dz\wedge dx + w dx\wedge dy)=\frac{\partial u}{\partial x}dx\wedge dy +\frac{\partial v}{\partial y}dz\wedge dx+\frac{\partial w}{\partial z}dx\wedge dy \end{eqnarray*}$

Hast du die Angabe sicher richtig abgeschrieben? Denn sonst koennte man ja das u und w schon vor der aeusseren Ableitung zusammenfassen.

Im Uebrigen ist dein weg noch falsch. Aber zuerst moechte ich erst noch wissen ob es wirklich die richtige Aufgabenstellung ist.

27.01.2013, 13:57

hilbert123

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Ja das ist so richtig, hatte mich auch schon gewundert, dass das letzte nicht dy dz sein sollte.

u,v,w sollen Funktionen vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sein.

Mit diesem Thema komm ich soweit noch gar nicht klar.
Wenn ich jetzt nur $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ betrachte, ist das doch $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} d(u dx\wedge dy + v dz\wedge dx + w dx\wedge dy)=d((u+w)dx\wedge dy+v dz\wedge dx)=\frac{\partial (u+w)}{\partial x}dx\wedge (dx\wedge dy)+\frac{\partial (u+w)}{\partial y}dy\wedge (dx\wedge dy)+\frac{\partial (u+w)}{\partial z}dz\wedge (dx\wedge dy)+\frac{\partial v}{\partial x}dx\wedge (dz\wedge dx)+\frac{\partial v}{\partial y}dy\wedge (dz\wedge dx)+\frac{\partial v}{\partial z}dz\wedge (dz\wedge dx) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? Als nächstes würde ich das zu

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{\partial (u+w)}{\partial z}dz\wedge (dx\wedge dy)+\frac{\partial v}{\partial y}dy\wedge (dz\wedge dx) \end{eqnarray*}$

Schonmal danke für die Hilfe

27.01.2013, 14:08

chris95

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Zitat:

Original von hilbert123

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{\partial (u+w)}{\partial z}dz\wedge (dx\wedge dy)+\frac{\partial v}{\partial y}dy\wedge (dz\wedge dx) \end{eqnarray*}$

Genau, das ist okay. Mit ein bisschen Erfahrung wertest du ja spaeter so wie so nur die Ableitungen aus, in denen hinten im Wedgeprodukt ein dx_i vorkommt, da ja $\begin{eqnarray*} dx_i \wedge dx_i = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Nun kannst du noch die Vertauschungsrelationen benutzen und es in die konventionelle Darstellung bringen:

$\begin{eqnarray*} \omega = f(x,y,z)\, dx \wedge dy \wedge dz \end{eqnarray*}$

Benutze dafuer einfach mehrmals, dass:

$\begin{eqnarray*} dx_i \wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i \end{eqnarray*}$

27.01.2013, 14:09

RavenOnJ

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Mach's dir doch nicht so schwer, berechne erst mal

$\begin{eqnarray*} d(udx\wedge dy) \end{eqnarray*}$

(dabei beachten, dass $\begin{align*} d\circ d = 0 \end{align*}$ , außerdem $\begin{align*} dx\wedge dy = -dy\wedge dx \end{align*}$ usw., und, wie du schon schriebst, $\begin{eqnarray*} du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy+ \frac{\partial u}{\partial z}dz \end{eqnarray*}$ )

Wenn du weißt, was das ergibt, ist der Rest einfach analog.

27.01.2013, 14:38

hilbert123

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okay, dann habe ich das schonmal verstanden.

2 Fragen hätte ich aber noch:

1)
Wenn ich die äußere Ableitung von $\begin{eqnarray*} du\wedge v \end{eqnarray*}$ bestimmen soll, sagen wir u sei eine k und v eine l Form, dann ist das doch nichts anderes als:

$\begin{eqnarray*} d(du\wedge v)=ddu\wedge v + (-1)^kdu\wedge dv = (-1)^kdu\wedge dv \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

2)
Was genau heiß es, dass eine k-Form zerlegbar ist? Muss ich dafür nur nachprüfen ob $\begin{eqnarray*} \alpha\wedge \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ gilt?

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