Biquadratische Gleichung mit Betrag

26.01.2013, 20:01	gröli	Auf diesen Beitrag antworten »
Biquadratische Gleichung mit Betrag Meine Frage: Hallo ! Ich bräuchte bitte bei einer Matheaufgabe dringend Hilfe. Habe die Gleichung: \|x^4-4x^2+4\|=50 Meine Frage wäre, wie ich denn da vorgehen muss, da ich ja substituieren muss und eine Fallunterscheidung brauche. Meine Ideen:* 1.Fall: x^4-4x^2+4>=0 Substitution: z=x^2 Ergebnis: x^2=2 Und muss ich jetzt den gleichen Vorgang mit x^4-4x^2+4=50 auch noch machen ? Dann habe ich ja allein beim 1.Fall schon 4 Lösungen ? 2.Fall: x^4-4*x^2+4<0
26.01.2013, 22:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö, gleich mit 50! $\begin{eqnarray} \|(x^2 - 2)^2\| = 50 \end{eqnarray}$ Welches Vorzeichen nimmt der Term innerhalb der Betragszeichen an?
26.01.2013, 23:05	gröli	Auf diesen Beitrag antworten »
ach so geht das (: aber substituieren muss ich dann trotzdem, oder ? Weil dann hätt ich jetzt wenn beim Betrag ein positives Vorzeichen kommt, eine negative Zahl unter der Wurzel, woraus ich schließe, dass das Vorzeichen beim Betrag negativ sein muss dann würden als Ergebnis x1 = 2+ $\begin{eqnarray} \sqrt{58} \end{eqnarray}$ x2 = 2- $\begin{eqnarray} \sqrt{58} \end{eqnarray}$ rauskommen
26.01.2013, 23:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt überhaupt nicht! 58 sind fehl am Platz und ausserdem musst du nochmals die Wurzel ziehen. Und: Der Term innerhalb der Betragszeichen ist ein Quadrat, daher immer positiv. Was folgt daraus hinsichtlich Weglassung oder Beibehaltung der Betragszeichen? mY+
27.01.2013, 00:59	gröli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, also wenn ein Quadrat im Betrag steht, ist es also automatisch positiv ? Ich hätte nämlich nach diesem Schema gedacht: \|a\| = a ... wenn a>=0 \|a\| = -a ... wenn a<0 dadurch bin ich auch zur Fallunterscheidung gekommen. Na gut, also wenn ich annehme, der Betrag wird positiv: x^4-4x^2+4 = 50 x^4-4x^2-46 = 0 Substitution: z = x^2 z^2-4z-46 = 0 p,q-Formel: 2 $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{4+46} \end{eqnarray}$ z1 = 9,071067812 z2 = -5,071067812 Rücksubstitution: x1 = 3,011821345* x2 = negative Zahl unter Wurzel -> keine Lösung Kann das so stimmen ? (:
27.01.2013, 09:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist's besser! Bei der Rücksubstitution hat allerdings $\begin{eqnarray} x^2 = z \end{eqnarray}$ zwei Lösungen, so gibt es noch eine zweite negative Lösung, x2 = ... _____________________ Die Lösung ohne quadratische Lösungsformel und Substitution ist übrigens auch einfach: $\begin{eqnarray} (x^2 - 2)^2 = 50 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2 - 2 = \sqrt{50} \end{eqnarray}$ <-- negative Lösung scheidet aus, weil dann die weiteren Lösungen imaginär sind. $\begin{eqnarray} x^2 = 2 + \sqrt{50} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2} = \pm \sqrt{2 + \sqrt{50}} \end{eqnarray}$ mY+
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27.01.2013, 11:29	gröli	Auf diesen Beitrag antworten »
super danke !!! das geht ja wirklich viel einfacher als ich gedacht hätte (: also x1= 3,011821345 und die negative Lösung dazu x2 = -3,011821345
27.01.2013, 11:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Japp! Noch zu $\begin{eqnarray} \sqrt{50} \end{eqnarray}$ : Die negative Lösung scheidet aus, weil dann die weiteren Lösungen imaginär sind. Es sei denn, die Gleichung ist in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ zu lösen ...

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