Limes begründen, eulersche Zahl

26.01.2013, 20:06

MatheIstCool!

Limes begründen, eulersche Zahl

Meine Frage:
Geben Sie den Grenzwert der nachstehenden Folge an (mit Begründung):

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1 - \frac{42}{n})^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich weiß das der Grenzwert hier $\begin{eqnarray*} e^{-42} \end{eqnarray*}$ ist, ich kann aber leider nicht begründen wieso.

28.01.2013, 08:20

klarsoweit

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RE: Limes begründen, eulersche Zahl
Substituiere n = -42 * m . smile

28.01.2013, 08:28

Gastmathematiker

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RE: Limes begründen, eulersche Zahl

Zitat:

Original von klarsoweit
Substituiere n = -42 * m . smile

Das wird zwar häufig gemacht, geht aber trotzdem nicht. Das ist keine Teilfolge der Ursprungsfolge.

(Wenn überhaupt, dann müsste man dann sowieso den Limes gegen - unendlich betrachten)

28.01.2013, 09:18

Mystic

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RE: Limes begründen, eulersche Zahl
Bei dieser Aufgabe stellt sich die Frage, was man bereits als bewiesen ansehen kann... Ist dies z.B. die bekannte Tatsache

$\begin{eqnarray*} e^x=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac xn\right)^n \end{eqnarray*}$

so ist die Aufgabe trivial, indem man x=-42 setzt... Setzt man

$\begin{eqnarray*} e:=\lim_{n \to \infty} \left(1+z_n\right)^{\frac1{z_n}} \end{eqnarray*}$

voraus, wobei ( $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ ) eine beliebige Nullfolge ist, ist es dann ebenfalls noch ganz einfach zu zeigen... Hat man dies aber auch nicht zur Verfügung, muss man vorher eben den Ausdruck logarithmieren und sich z.B. mit L'Hospital behelfen...

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