Lineare Abbildung bestimmen

26.01.2013, 21:38	moncherie92	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung bestimmen Meine Frage: $\begin{eqnarray} \vec{v_{1} } = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} , \vec{v_{2} } = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix},<br /> \vec{v_{3} } = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (a) Geben sie die Matrix der linearen Abbildung L an, die v1 auf v2, v2 auf v3 und v3 auf v1 abbildet. (b) Wie lautet die Matrix von L in der Basis v1, v2, v3? Meine Ideen: Ich lerne gerade für die Klausur der Höheren Mathematik 1, wo ich aufgrund von drittsemester Vorlesungen die Vorlesung nicht besuchen konnte.. Ich werde bei dieser Aufgabe zu nichten aus dem Skript schlau und würde mich freuen, wenn ich anhand des Beispiels ein wenig in die Materie komme.. Bitte keine direkte Komplettlösung raushaun, davon hätte ich nichts^^ Aus der Aufgabenstellung würde ich spontan sagen, dass ich Funktionen finden muss, die folgende Bedingungen erfüllen: f(v1) = v2 f(v2) = v3 f(v3) = v1 Mehr kann ich mir aber nicht zusammenreimen und ich wüsste auch nicht anhand welcher Bedingungen ich da jetzt was raus schließen kann und zu welchem Zweck das ganze dient... Hilfe :-( LG Marcel
26.01.2013, 21:42	moncherie92	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme ich eventuell aus den drei Vektoren eine Linearkombination, um anschließend aus v1 dann v2 zu machen?! Irgendetwas schwirrt mir da noch so im Kopf rum..
26.01.2013, 23:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
a) kann einfach "brachial" behandelt werden: Die Abbildung lautet allgemein *AX = X'*, wobei A eine quadratische (3x3) - Matrix ist und daher 9 Konstanten beinhaltet. Mit deinen bereits von dir richtig angegebenen drei Bedingungen können mit den Spaltenvektoren v1, v2 und v3 nun drei Matrizenmultiplikationen angeschrieben werden, wodurch 9 ganz einfache Mini-Gleichungen in den 9 Konstanten entstehen, die einfach aufgelöst werden können. () Av1 = v2 Av2 = v3 Av3 = v1 Damit ist A gefunden (besteht nur aus 0, +1, -1 und 2). b) Da muss ich im Moment leider passen, konnte ich bis jetzt nicht lösen. Vielleicht kann noch jemand anderer etwas dazu sagen? mY+
27.01.2013, 00:28	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
a) man braucht sich nicht einmal mit den neun Konstanten herum zu schlagen. Der Weg über die Spaltenvektoren ist eleganter. @mYthos: Vielleicht meinst du das auch und ich verstehe es nur nicht richtig. b)Ist das nicht einfach $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
27.01.2013, 12:40	moncherie92	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen! Also ich hab das gestern mal aufgeschrieben, wie ich mir das denken könnte zu a) Das wäre folgendes: $\begin{eqnarray} f(v1) = v2 = 0v1 + 1v2 + 0v3<br /> f(v2) = v3 = 0v1 + 0v2 + 1v3<br /> f(v3) = v1 = 1v1 + 0v2 + 0v3 \end{eqnarray}$ Die Abbildungen packe ich dann als Spalten in eine Matrix, die dann wie folgt aussehen würde: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Also die gleiche Matrix, die URL bei b) hätte? Verstehe nicht wirklich den Unterschied zwischen a) und b)... Ein Komilitone aus dem ersten Semester hat bei a) ebenfalls diese Matrix aufgestellt.. Also einfach den gesuchten Vektor als Linearkombination aus den anderen darstellen...? Wäre cool, wenn sich noch jemand findet, der den Unterschied zwischen a) und b) erkennt LG Marcel
27.01.2013, 21:59	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
b) ist richtig Der Unterschied zu a) ist, dass man bei a) die kanonische Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ verwenden soll. (Die Vektoren v_1, v_2 und v_3 sind bzgl. dieser kanonischen Basis gegeben, ein Umstand, den man gern übersieht) Gesucht ist also die Matrix der Abbildung bezüglich der kanonischen Basis. Dazu kannst du folgendes machen: Die gesuchte Matrix hat drei Spalten. Die nennst du s_1, s_2, s_3 Für einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (das ist jetzt die Darstellung von v bzgl. der kanonischen Basis) ist dann $\begin{eqnarray} f(v)=Av=as_1+bs_2+cs_3 \end{eqnarray}$ (also eine Linearkombination der Spalten von A; Produkt aus Matrix mit Vektor kann man immer so schreiben, das hat nichts mit dieser Aufgabe zu tun) Jetzt setzt du der Reihe nach für v die Vektoren v_1, v_2, v_3 ein und bekommst Beziehungen zwischen den Spalten s_1, s_2, s_3 aus denen sich die Spalten ermitteln lassen. Am einfachsten ist das für v=v_2
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