Aufgabe zur achten Einheitswurzel

27.01.2013, 00:39

Alaster

Aufgabe zur achten Einheitswurzel

Hallo zusammen, ich habe ein paar Fragen zur folgenden Aufgabe:

Sei w die achte Einheitswurzel $\begin{eqnarray*} e^{2\pi i/8} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

(a) Geben Sie die Darstellung $\begin{eqnarray*} w = a + bi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ an.

(b) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von w über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und geben Sie den Grad der Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w)/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ an.

(c) Für welche $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w^n) = \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$ ?

(d) Welchen Grad $\begin{eqnarray*} |Z : \mathbb Q| \end{eqnarray*}$ hat jeder echte Zwischenkörper der Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w)/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ ? Geben Sie zwei verschiedene echte Zwischenkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w)/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ an.

Meine Ideen:

(a) Hier gilt ja $\begin{eqnarray*} a = \cos\left(\frac{2\pi}{8}\right) = \frac{1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \sin\left(\frac{2\pi}{8}\right) = \frac{1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} e^{2\pi i/8} = \frac{1}{\sqrt 2} + \frac{1}{\sqrt 2} i \end{eqnarray*}$ . Soweit keine Probleme.

(b) Da w die achte Einheitswurzel ist, ist doch das Kreisteilungspolynom $\begin{eqnarray*} \phi_8(x) \end{eqnarray*}$ (das laut einem Satz in der Vorlesung irreduzibel ist und nach Definition w als Nullstelle hat) das Minimalpolynom. Es ist

$\begin{eqnarray*} \phi_8(x) = (x^8-1) \left(\prod_{d \mid 8, \atop{d \ne 8}} \phi_d(x)\right)^{-1} = \frac{x^8-1}{\phi_1(x)\phi_2(x)\phi_4(x)} = \frac{x^8-1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} = \frac{x^8-1}{x^4-1} = x^4+1 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist der Grad der Körpererweiterung 4.

(c) $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$ ist doch gerade der 8-te Kreisteilungskörper. Wenn ich mir das ganze im Einheitskreis vorstelle, kommt mir die Vermutung, dass die Aussage für alle n, die Vielfache von 8 sind, gilt. Ist das der richtige Ansatz?

(d) Ich vermute mal die Zwischenkörper, die man betrachten sollte, sind $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w^2), \mathbb Q(w^3), \mathbb Q(w^4), \mathbb Q(w^5), \mathbb Q(w^6), \mathbb Q(w^7) \end{eqnarray*}$ . Wenn man hier die Gradformel benutzt, erhält man

$\begin{eqnarray*} |\mathbb Q(w) : \mathbb Q| = |\mathbb Q(w) : \mathbb Q(w^7)| \cdot |\mathbb Q(w^7) : \mathbb Q(w^6)| \cdots |\mathbb Q(w^2): \mathbb Q| \end{eqnarray*}$ .

Ist das soweit überhaupt richtig oder falscher Ansatz?

27.01.2013, 07:54

ollie3

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RE: Aufgabe zur achten Einheitswurzel
hallo,
deine antworten zu a) und b) sehen gut aus. c) jedoch kann ja nicht stimmen, denn bei den
vielfachen von 8 nimmt w^n ja immer den wert 1 an, dann wäre Q(w^n) ja Q selbst und
nicht Q(w). Ich glaube vielmehr, dass das für alle n gilt, die zu 8 teilerfremd sind, denn dann
könnte man w^n immer mit einem geeigneten exponenten potenzieren, um dann wieder w
erzeugen zu können. Ich gebe mal ein beispiel: nimm n=3, dann ist (w^3)^3=w^9, und das
ist dann wieder gleich w.
gruss ollie3

27.01.2013, 08:51

Mystic

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RE: Aufgabe zur achten Einheitswurzel
Auch die Antwort auf d) ist natürlich vollkommener Unsinn. War das überhaupt ernst gemeint? verwirrt

Z.B. ist ja

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(w^4)=\mathbb{Q}(-1)=\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(w^3)=\mathbb{Q}(w) \end{eqnarray*}$

wie schon von ollie3 ausgeführt, also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(w^3) \end{eqnarray*}$ nicht einmal in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(w^4) \end{eqnarray*}$ enthalten! geschockt

Mein Tipp: Schau dir lieber die spezielle Form von w an und auf welchen Wegen (=Adjunktionen) man dahingelangen kann...

27.01.2013, 14:28

Alaster

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Hm, war wohl gestern schon etwas spät, war nicht so ganz bei der Sache schätze ich...

Zu (c): Ich betrachte hier jetzt mal nur die $\begin{eqnarray*} n \in \{1, \ldots, 8\} \end{eqnarray*}$ , denn danach wiederholt es sich ja (Einheitskreis).

Ausschließen muss ich schonmal $\begin{eqnarray*} n = 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n = 8 \end{eqnarray*}$ , denn sonst ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w^4) = \mathbb Q(-1) = \mathbb Q \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w^8) = \mathbb Q(1) = \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und die Inklusion $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \supseteq \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$ gilt ja nicht.

Außerdem muss ich $\begin{eqnarray*} n = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n = 6 \end{eqnarray*}$ ausschließen, denn sonst ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w^2) = \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w^6) = \mathbb Q(-i) \end{eqnarray*}$ und die Inklusion $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \subseteq \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(-i) \subseteq \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$ gilt ebenfalls nicht.

Damit bleiben nur noch die n mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(8, n) = 1 \end{eqnarray*}$ über.

Zu (d): Da wir echte Zwischenkörper suchen, muss $\begin{eqnarray*} Z \ne \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z \ne \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$ gelten. Wegen meinen Überlegungen bei (c) kann ich schließen, dass nur $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ in Frage kommen oder? Das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ (hat $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ als Nullstelle, und ist nach Eisenstein irreduzibel, wenn man substituiert mit $\begin{eqnarray*} x \mapsto x-1 \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} p = 2 \end{eqnarray*}$ wählt). Demnach ist der gesuchte Grad 2.

Was meint ihr dazu?

27.01.2013, 14:37

lgrizu

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Zitat:

Original von Alaster
....
...
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \subseteq \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(-i) \subseteq \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$ gilt ebenfalls nicht.

Oh doch, diese Inklusionen gelten.....

Andersherum wird ein Schuh draus, die Inklusion $\begin{eqnarray*} \mathbb Q( \omega) \subseteq \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ gilt nicht, also keine Gleichheit, aber das kann man auch an den jeweiligen Minimalpolynomen sehen.

Fernerhin ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i)= \mathbb Q(-i) \end{eqnarray*}$ , warum du das als zwei unterschiedliche Körper betrachtest ist mir nicht ganz klar.

Wir hatten da doch gestern schon einen Thread zu.

Im Zweifel lies ihn dir noch mal durch.

Entscheidend für solche Aufgaben sind die Potenzen von $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$

Schreibe diese doch einfach mal auf....

27.01.2013, 20:11

Alaster

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Okay, die Potenzen sind

$\begin{eqnarray*} w^0 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w^1 = e^{\pi i/4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w^2 = i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w^3 = e^{3\pi i/4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w^4 = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w^5 = e^{-3\pi i/4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w^6 = -i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w^7 = e^{-\pi i/4} \end{eqnarray*}$ .

Ich suche ja nun echte Zwischenkörper. Damit fallen 1 und -1 schonmal weg und außerdem $\begin{eqnarray*} w^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n = 1, 3, 5, 7 \end{eqnarray*}$ , wegen Teilaufgabe (c). Dann bleibt nur noch $\begin{eqnarray*} w^2 \end{eqnarray*}$ als Kandidat über. Aber dann hab ich doch nur einen Zwischenkörper gefunden. Wie finde ich einen zweiten, der von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ echt verschieden ist?

27.01.2013, 21:25

Mystic

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Zitat:

Original von Alaster
Wie finde ich einen zweiten, der von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ echt verschieden ist?

Tja, vielleicht solltest - wie oben schon geschrieben, aber von dir ignoriert - doch noch einmal einen Blick werfen auf die besondere Gestalt von w und was man alles adjungieren muss, um es zu bekommen...

27.01.2013, 21:33

Alaster

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Entschuldige, dass hatte ich vorhin vergessen.

Die algebraische Form von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} w = \frac{1}{\sqrt 2} + \frac{1}{\sqrt 2} i \end{eqnarray*}$ .

Das weckt in mir die Vermutung, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ ein weiterer echter Zwischenkörper ist (man muss die $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ja noch adjungieren?).

27.01.2013, 21:36

Mystic

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Zitat:

Original von Alaster
Das weckt in mir die Vermutung, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ ein weiterer echter Zwischenkörper ist (man muss die $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ja noch adjungieren?).

Bingo...

(Aber warum nicht gleich, oder ist dieser Gedanke so fernliegend? verwirrt

)

27.01.2013, 21:38

Alaster

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Jetzt wo du es sagst, natürlich nicht, aber ich hatte mal wieder ein Brett vorm Kopf Hammer

27.01.2013, 21:43

Mystic

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Ja, der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[w] \end{eqnarray*}$ ist einfach ident mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt 2, i] \end{eqnarray*}$ , wobei man die Adjunktionen von $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ und i natürlich in belieber Reihenfolge vornehmen kann... Deine Fixierung auf die Potenzen von w habe ich von Anfang an nicht verstanden...

27.01.2013, 21:48

Alaster

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Wenn ich nun diese beiden Zwischenkörper nehme (die haben ja Grad 2), wie kann ich zeigen, dass es echte Zwischenkörper sind? Also die Inklusion $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subsetneqq \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ bzw. selbiges mit $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ist ja klar, aber woraus folgt genau die Inklusion $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \subsetneqq \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$ ? Ist das so schon irgendwie klar, oder muss man hier noch etwas zeigen?

Edit: Naja man kann ja zeigen, dass die beiden Körper identisch sind, oder?

27.01.2013, 22:10

Mystic

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Naja, es ist ja $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt 2] \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also kann es dann wohl nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[w] \end{eqnarray*}$ sein und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ natürlich auch nicht... Eine ähnliche Überlegung muss du auch für den anderen Zwischenkörper durchführen...

28.01.2013, 07:51

lgrizu

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Zitat:

Original von Mystic
Deine Fixierung auf die Potenzen von w habe ich von Anfang an nicht verstanden...

Wenn man sich die Potenzen in der algebraischen Form anschaut:

$\begin{eqnarray*} \omega^0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega^1=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}+\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega^2=2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega^3=\sqrt{2}+\sqrt{2}i \end{eqnarray*}$

....

Dann sieht man recht schnell- wie ich finde, dass man diese darstellen kann als $\begin{eqnarray*} a+bi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ oder durch $\begin{eqnarray*} a+b \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ ...

04.02.2013, 17:09

Alaster

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Ich hole diesen Thread nochmal raus, da wir nun Lösungen erhalten haben und ich dazu noch einige Verständnisfragen habe (auch wenn hier die Aufgabe so gelöst wurde).
Die Fragen richten sich an Teil (c) und (d). (Für den Aufgabentext einfach nach oben scrollen).

In der Musterlösung wird wie folgt vorgegangen:

(c) Erstmal ist
$\begin{eqnarray*} w^n = w^m \quad \Longleftrightarrow \quad [n]_8 = [m]_8 \end{eqnarray*}$ .
Warum das gilt, habe ich mir so erklärt:
$\begin{eqnarray*} w^n = w^m \quad \Longleftrightarrow \quad w^{n-m} = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad 8 = \operatorname{ord}(w) \mid n-m \quad \Longleftrightarrow \quad n \equiv m \bmod 8 \quad \Longleftrightarrow \quad [n]_8 = [m]_8 \end{eqnarray*}$ .

Frage: Wofür braucht man das eigentlich genau?

Die Elemente der Ordnung 8 in der Gruppe $\begin{eqnarray*} \langle w\rangle \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} w, w^3, w^5, w^7 \end{eqnarray*}$ , da sie Nullstellen vom Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} x^4+1 \end{eqnarray*}$ sind.

Frage: Warum sind Nullstellen des Minimalpolynoms von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ Erzeuger der Gruppe $\begin{eqnarray*} \langle w\rangle \end{eqnarray*}$ ?

Dann wird gefolgert, dass $\begin{eqnarray*} |\mathbb Q(w^n) : \mathbb Q| = 4 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \equiv 1,3,5,7 \bmod 8 \end{eqnarray*}$ ist.

Frage: Dies folgt doch aber schon aus der Tatsache, dass die $\begin{eqnarray*} w^n \end{eqnarray*}$ Nullstellen des Minimalpolynoms sind, oder nicht? Warum müssen die $\begin{eqnarray*} w^n \end{eqnarray*}$ erst noch Erzeuger sein?

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w^n) = \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$ für diese $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.

Frage: Warum gilt
$\begin{eqnarray*} |\mathbb Q(w^n) : \mathbb Q| = |\mathbb Q(w) : \mathbb Q| \quad \Longrightarrow \quad \mathbb Q(w^n) = \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$ ?
Das ist ja gerade die Folgerung, die hier gemacht wird.

Weiter gilt
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w^0) = \mathbb Q(1) = \mathbb Q \subsetneqq \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$
(ist klar),
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w^2) = \mathbb Q(i) \subsetneqq \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$ ,
da $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ Grad 2 über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ hat.

Frage: Warum folgt aus Grad 2 (letztes Argument hiervor), dass es eine echte Teilmenge ist? Weil 2 ein echter Teiler von 4 ist (Gradformel)? Ich hätte hier wohl gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} w \notin \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ ist...

Weiter ist
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w^4) = \mathbb Q(-1) = \mathbb Q \subsetneqq \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$
(klar),
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(w^6) = \mathbb Q(-i) = \mathbb Q(i) \subsetneqq \mathbb Q(w) \end{eqnarray*}$ .

Die Antwort auf die Fragenstellung der Aufgabe ist also: $\begin{eqnarray*} n \equiv 1,3,5,7 \bmod 8 \end{eqnarray*}$ .

(d) Aus der Gradformel folgt, dass Zwischenkörper einen Grad haben müssen, der Teiler von 4 ist. Echte Zwischenkörper müssen also Grad 2 haben.

Frage: Hier wird auch wieder die Folgerung gemacht: Echter Teiler, dann: echter Zwischenkörper. Siehe meine Frage weiter oben.

Dann sind
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) = \mathbb Q(w^2) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt 2) = \mathbb Q(w + \overline w) = \mathbb Q(w+w^7) \end{eqnarray*}$
echte Zwischenkörper.

Frage: Warum ist hier die Bedingung, dass echte Zwischenkörper Grad 2 haben müssen, auch hinreichend? Von der Folgerung oben erkenne ich erstmal nur, dass es eine notwendige Bedingung hier ist. Aber warum auch hinreichend?

Weiterer Zwischenkörper ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt 2 \cdot i) = \mathbb Q(\sqrt{-2}) \end{eqnarray*}$ (von der Aufgabenstellung her nicht gefordert).

Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir jemand diese ganzen Fragen beantworten könnte. Sorry, schonmal im Voraus für die ganzen Fragen, die bestimmt banal sind, aber ich will die Aufgabe einfach gern komplett verstehen. Gott

LG.

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