Isomorphie von Gruppen, Symmetrie

27.01.2013, 06:42

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

Isomorphie von Gruppen, Symmetrie

Hi,

Gilt die folgende Implikation:

$\begin{eqnarray*} A \cong B \Rightarrow B \cong A \end{eqnarray*}$ ?

Evtl. Ist die Umkehrfunktion zu betrachten (?).

Ja, wenn eine Funktion ein Isomorphismus ist, dann auch die Umkehrfunktion. Daraus folgt die Implikation, oder?

Gruß
Monoid smile

smile

27.01.2013, 08:02

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Monoid
Ja, wenn eine Funktion ein Isomorphismus ist, dann auch die Umkehrfunktion. Daraus folgt die Implikation, oder?

Daraus würde dann die Implikation folgen,ja... Somit besteht die Aufgabe im Nachweis dieser Tatsache...

27.01.2013, 09:41

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie
Erstmal muss man ja zeigen, dass die Umkehrfunktion eines Morphismus' wiederum auch ein Morphismus ist.

Also:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}( x+y )=f^{-1}(x)+f^{-1}(y) \\ f^{-1}( \lambda \cdot x)=\lambda \cdot f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$

Aber so richtige Ansätze habe ich leider nicht... unglücklich

unglücklich

27.01.2013, 10:02

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie
Das folgt aus der Gleichheit von
$\begin{eqnarray*} f\left(f^{-1}( x+y )\right)=f\left(f^{-1}(x)+f^{-1}(y) \right) \end{eqnarray*}$
Wegen der Injetivität folgt aus der Gleichheit der Bilder auch die Gleichheit der Argumente.

27.01.2013, 10:20

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Monoid
$\begin{eqnarray*} f^{-1}( x+y )=f^{-1}(x)+f^{-1}(y) \\ f^{-1}( \lambda \cdot x)=\lambda \cdot f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$

Woher kommen diese seltsamen Operationen? Offenbar rechnest du da in einem R-Modul oder gar in einem Vektorraum, wovon aber bisher mit keinem Wort die Rede war... geschockt

geschockt

27.01.2013, 10:46

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Monoid
$\begin{eqnarray*} f^{-1}( x+y )=f^{-1}(x)+f^{-1}(y) \\ f^{-1}( \lambda \cdot x)=\lambda \cdot f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$

Woher kommen diese seltsamen Operationen? Offenbar rechnest du da in einem R-Modul oder gar in einem Vektorraum, wovon aber bisher mit keinem Wort die Rede war... geschockt

geschockt

Ich schätze mal, es ist ein Vektorraum gemeint...

Anzeige

27.01.2013, 12:52

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie
Nein, Gruppen.

27.01.2013, 14:25

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Monoid
Nein, Gruppen.

Hm, und was bedeutet dann $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot x \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

27.01.2013, 14:28

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie
Ja, ich habe da was verwechselt.

Es muss $\begin{eqnarray*} f^{-1} ( x \circ y )=f^{-1}(x) * f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ gezeigt werden.

Edit:
Die Verknüpfungen sollen die Gruppenverknüpfungen sein.

27.01.2013, 14:29

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Monoid
Ja, ich habe da was verwechselt.

Es muss $\begin{eqnarray*} f ( x \circ y )=f(x) * f(y) \end{eqnarray*}$ gezeigt werden.

Hm, ich dachte, das wäre eine Voraussetzung über f? verwirrt

verwirrt

27.01.2013, 15:31

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie
Hab's korrigiert.

27.01.2013, 15:34

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie
Dazu hatte ich in meinem vorherigen Beitrag schon etwas geschrieben.

PS: Titel präzisiert.

27.01.2013, 15:48

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie
Und warum gilt diese Gleichung?

27.01.2013, 15:56

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Monoid
Und warum gilt diese Gleichung?

Das sollst du ja nachweisen.

27.01.2013, 16:39

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie
$\begin{eqnarray*} \underbrace{f\left(f^{-1}( x+y )\right)}_{=x+y} \\ f\left(\underbrace{f^{-1}(x)}_{\in D_f } +\underbrace{f^{-1}(y)}_{\in D_f } \right)= x+y \end{eqnarray*}$

Weil man hier die Additivität benutzt.

27.01.2013, 16:41

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Monoid
$\begin{eqnarray*} \underbrace{f\left(f^{-1}( x+y )\right)}_{=x+y} \end{eqnarray*}$

Das ist korrekt.

Zitat:

Original von Monoid
$\begin{eqnarray*} f\left(\underbrace{f^{-1}(x)}_{\in D_f } +\underbrace{f^{-1}(y)}_{\in D_f } \right)= x+y \end{eqnarray*}$

Wie begründest du die Gleichheit? verwirrt

verwirrt

27.01.2013, 16:45

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie
Wegen $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ Für $\begin{eqnarray*} x , y \in D_f \end{eqnarray*}$ .

27.01.2013, 16:47

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie
Ja, es ist
$\begin{eqnarray*} f\left(f^{-1}(x)+f^{-1}(y)\right)=f\left(f^{-1}(x)\right)+f\left(f^{-1}(y)\right)=x+y \end{eqnarray*}$

27.01.2013, 16:53

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie
Genau das meine ich ja auch.

Damit wäre es doch gezeigt, oder? Denn die Bijektivität, ist ja auch klar.

27.01.2013, 17:14

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie
Ja

27.01.2013, 17:17

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isomorphie
Ok, vielen Dank! Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »