Isomorphie von Gruppen, Symmetrie

27.01.2013, 07:42

Monoid

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Isomorphie von Gruppen, Symmetrie

Hi,

Gilt die folgende Implikation:

$\begin{eqnarray*} A \cong B \Rightarrow B \cong A \end{eqnarray*}$ ?

Evtl. Ist die Umkehrfunktion zu betrachten (?).

Ja, wenn eine Funktion ein Isomorphismus ist, dann auch die Umkehrfunktion. Daraus folgt die Implikation, oder?

Gruß
Monoid smile

smile

27.01.2013, 09:02

Mystic

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RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Monoid
Ja, wenn eine Funktion ein Isomorphismus ist, dann auch die Umkehrfunktion. Daraus folgt die Implikation, oder?

Daraus würde dann die Implikation folgen,ja... Somit besteht die Aufgabe im Nachweis dieser Tatsache...

27.01.2013, 10:41

Monoid

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RE: Isomorphie
Erstmal muss man ja zeigen, dass die Umkehrfunktion eines Morphismus' wiederum auch ein Morphismus ist.

Also:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}( x+y )=f^{-1}(x)+f^{-1}(y) \\ f^{-1}( \lambda \cdot x)=\lambda \cdot f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$

Aber so richtige Ansätze habe ich leider nicht... unglücklich

unglücklich

27.01.2013, 11:02

Math1986

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RE: Isomorphie
Das folgt aus der Gleichheit von
$\begin{eqnarray*} f\left(f^{-1}( x+y )\right)=f\left(f^{-1}(x)+f^{-1}(y) \right) \end{eqnarray*}$
Wegen der Injetivität folgt aus der Gleichheit der Bilder auch die Gleichheit der Argumente.

27.01.2013, 11:20

Mystic

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RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Monoid
$\begin{eqnarray*} f^{-1}( x+y )=f^{-1}(x)+f^{-1}(y) \\ f^{-1}( \lambda \cdot x)=\lambda \cdot f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$

Woher kommen diese seltsamen Operationen? Offenbar rechnest du da in einem R-Modul oder gar in einem Vektorraum, wovon aber bisher mit keinem Wort die Rede war... geschockt

geschockt

27.01.2013, 11:46

Math1986

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RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Monoid
$\begin{eqnarray*} f^{-1}( x+y )=f^{-1}(x)+f^{-1}(y) \\ f^{-1}( \lambda \cdot x)=\lambda \cdot f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$

Woher kommen diese seltsamen Operationen? Offenbar rechnest du da in einem R-Modul oder gar in einem Vektorraum, wovon aber bisher mit keinem Wort die Rede war... geschockt

geschockt

Ich schätze mal, es ist ein Vektorraum gemeint...

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27.01.2013, 13:52

Monoid

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RE: Isomorphie
Nein, Gruppen.

27.01.2013, 15:25

Mystic

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RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Monoid
Nein, Gruppen.

Hm, und was bedeutet dann $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot x \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

27.01.2013, 15:28

Monoid

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RE: Isomorphie
Ja, ich habe da was verwechselt.

Es muss $\begin{eqnarray*} f^{-1} ( x \circ y )=f^{-1}(x) * f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ gezeigt werden.

Edit:
Die Verknüpfungen sollen die Gruppenverknüpfungen sein.

27.01.2013, 15:29

Mystic

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RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Monoid
Ja, ich habe da was verwechselt.

Es muss $\begin{eqnarray*} f ( x \circ y )=f(x) * f(y) \end{eqnarray*}$ gezeigt werden.

Hm, ich dachte, das wäre eine Voraussetzung über f? verwirrt

verwirrt

27.01.2013, 16:31

Monoid

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RE: Isomorphie
Hab's korrigiert.

27.01.2013, 16:34

Math1986

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RE: Isomorphie
Dazu hatte ich in meinem vorherigen Beitrag schon etwas geschrieben.

PS: Titel präzisiert.

27.01.2013, 16:48

Monoid

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RE: Isomorphie
Und warum gilt diese Gleichung?

27.01.2013, 16:56

Math1986

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RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Monoid
Und warum gilt diese Gleichung?

Das sollst du ja nachweisen.

27.01.2013, 17:39

Monoid

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RE: Isomorphie
$\begin{eqnarray*} \underbrace{f\left(f^{-1}( x+y )\right)}_{=x+y} \\ f\left(\underbrace{f^{-1}(x)}_{\in D_f } +\underbrace{f^{-1}(y)}_{\in D_f } \right)= x+y \end{eqnarray*}$

Weil man hier die Additivität benutzt.

27.01.2013, 17:41

Math1986

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RE: Isomorphie

Zitat:

Original von Monoid
$\begin{eqnarray*} \underbrace{f\left(f^{-1}( x+y )\right)}_{=x+y} \end{eqnarray*}$

Das ist korrekt.

Zitat:

Original von Monoid
$\begin{eqnarray*} f\left(\underbrace{f^{-1}(x)}_{\in D_f } +\underbrace{f^{-1}(y)}_{\in D_f } \right)= x+y \end{eqnarray*}$

Wie begründest du die Gleichheit? verwirrt

verwirrt

27.01.2013, 17:45

Monoid

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RE: Isomorphie
Wegen $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ Für $\begin{eqnarray*} x , y \in D_f \end{eqnarray*}$ .

27.01.2013, 17:47

Math1986

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RE: Isomorphie
Ja, es ist
$\begin{eqnarray*} f\left(f^{-1}(x)+f^{-1}(y)\right)=f\left(f^{-1}(x)\right)+f\left(f^{-1}(y)\right)=x+y \end{eqnarray*}$

27.01.2013, 17:53

Monoid

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RE: Isomorphie
Genau das meine ich ja auch.

Damit wäre es doch gezeigt, oder? Denn die Bijektivität, ist ja auch klar.

27.01.2013, 18:14

Math1986

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RE: Isomorphie
Ja

27.01.2013, 18:17

Monoid

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RE: Isomorphie
Ok, vielen Dank! Wink

Wink

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