Eigenräume von Polynomen

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jaszsy Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenräume von Polynomen
Meine Frage:
Wir haben eine lineare Abbildung L von nach


Davon habe ich die darstellende Matrix erschlossen bezüglich der Standardbasis x^2+x+1:


Das charakteristische Polynom ist jetzt dann (z-1)(z-3)(z-4)

Wie bestimme ich den Eigenraum?


Meine Ideen:
Mein Ansatz ist Eig(L,1)=Kern((5a+b)x^2+(a+5b-c)x+5c), das führt zu keinem Ergebnis. Was ist der richtige Ansatz?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
Stimmt die zweite Spalte der Matrix auch? verwirrt

Ansonsten: Bestimme die Eigenvektoren dieser Matrix und überlege, welche Polynome diese darstellen.
jaszsy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
Ja kein Plan.

Im Skript ist ein Algorythmus dazu, wo man den ersten Vektor der Standardbasis einsetzt und daraus die erste Zeile der darstellenden Matrix bekommt und dann kam das eben raus?

Meinst du, dass die Matrix nicht stimmt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
Okay, also erst einmal zur darstellenden Matrix.
Was erhältst du denn, wenn du in einsetzt?
jaszsy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
Wenn ich versuche die Eigenvektoren zu brechnen, bekomme ich immer raus, dass nur der Nullvektor Eigenvektor ist... das geht ja nicht.

*verzweifel*
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
Zitat:
Original von Che Netzer
Okay, also erst einmal zur darstellenden Matrix.
Was erhältst du denn, wenn du in einsetzt?
 
 
jaszsy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
L(x^2)=4x^2+x
L(x)=x^2+4
L(1)=-x+4

Kb(4x^2+x)=1. Spalte darstellende Matrix=(4 1 0)
Kb(x^2+4)= 2. Spalte darstellende Matrix=(1 0 4)
Kb(-x+4) = 3. Spalte darstellende Matrix= (0 -1 4)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
Zitat:
Original von jaszsy
L(x)=x^2+4

Das würde ich nochmal überprüfen.
Wieso ist der konstante Term im Bild nicht Null?
jaszsy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
ja L(x)= x^2+4x und nicht L(x)= x^2+4....
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
Gut, dann kannst du die Matrix mal neu aufstellen.
jaszsy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
Gut. Und jetzt bestimme die Eigenwerte.
jaszsy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
EW= 3, 4, 5

Eigenvektoren:
-x^2+x zu 3
x^2+1 zu 4
x^2+x zu 5

Wie komme ich jetzt auf die Eigenräume?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
Zum Egenwert Vier hätte ich einen anderen Eigenvektor.

Die Eigenräume sind dann aber einfach die von den Eigenvektoren aufgespannten Unterräume.
jaszsy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
also span(-x^2+x)= Eig(L,3)

ich hab immer versuch Kern(L-I*3) zu berechnen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenräume von Polynomen
Zitat:
Original von jaszsy
ich hab immer versuch Kern(L-I*3) zu berechnen.

Ja, so macht man das auch.
Wie bist du denn sonst auf die Eigenvektoren gekommen?
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