funktion untersuchen, x>0

27.01.2013, 11:39

mathe1a

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funktion untersuchen, x>0

Meine Frage:
Hallo alle zusammen,

ich muss folgende Funktion untersuchen und herrausfinden, ob es eine reelle Zahl x > 0 gibt
1. $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x}}=sin x +2 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} e^{x} = 1+x \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß nicht recht, wie ich da vorgehen soll. Mein Ansatz wäre:
zu 1:
$\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x}}=sin x +2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log(e^{\sqrt{x}})=log(sin x +2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=log(sin x +2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=(log(sin x +2))^2 \end{eqnarray*}$
x= ???

zu 2.
$\begin{eqnarray*} e^{x} = 1+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log(e^{x}) = log(1+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = log (1+x) \end{eqnarray*}$
x=??

Ist das ersteinmal so richtig? Und wie lässt sich der letzte Term jetzt nach x umformen?

27.01.2013, 12:23

Che Netzer

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RE: funktion untersuchen, x>0
Ich bin mir ziemlich sicher, dass es eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ gibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du sollst vermutlich herausfinden, ob solch eine Zahl existiert, die die angegebenen Gleichungen löst.

Dann solltest du aber nicht versuchen, die Gleichungen explizit zu lösen, sondern bei der ersten Gleichung den Zwischenwertsatz anwenden.

Zur zweiten Gleichung können wir dann danach kommen.

27.01.2013, 12:57

mathe1a

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$\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x}}=sin x +2 \end{eqnarray*}$

Der Zwischenwertsatz sagt ja aus, dass jeder Wert bei einer stetigen Funktion angenommen wird, der zwischen f(a) und f(b) liegt (im Intervall [a,b]).

Kann ich mir nun ein Intervall frei wählen? und in wie fern hilft mir der Zwischenwertsatz zum lösen dieser Aufgabe?

27.01.2013, 13:13

Che Netzer

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Wenn du $\begin{eqnarray*} a,b\in[0,\infty) \end{eqnarray*}$ findest, so dass $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ unterschiedliches Vorzeichen haben, dann hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} [b,a] \end{eqnarray*}$ ).

Du musst nun eine geeignete Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ finden (deren Nullstellen Lösungen der Gleichung sind) und solche Stellen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

27.01.2013, 14:29

mathe1a

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meine Funktion ist $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{\sqrt{x}}-sin x -2 \end{eqnarray*}$

und im Intervall [a,b], also [1,2] müsste sich eine Nullstelle befinden, da
f(1)= -0,123
f(2)= 1,20395

Und nun besagt der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, dass jede Zahl zwischen -0,123 und 1,20395 in (1; 2) mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird.
Folglich habe ich ein x gefunden, welches x>0 erfüllt.

richtig?

Muss ich nun noch zeigen, dass die Funktion stetig ist oder kann ich das einfach so annehmen?

27.01.2013, 15:46

Che Netzer

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Dass die Funktion stetig ist, kann man wohl annehmen.
Aber wie hast du denn bitte die Werte ausgerechnet?

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27.01.2013, 15:57

mathe1a

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$\begin{eqnarray*} f(1)=e^{1}-sin(1) -2= -0,123 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(2)=e^{\sqrt 2}-sin(2) -2= 1,20395 \end{eqnarray*}$

27.01.2013, 15:59

Che Netzer

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Ich bezweifle sehr, dass da wirklich Gleichheit gilt. Und woher kommen denn die Zahlen auf der rechten Seite?

27.01.2013, 16:04

mathe1a

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$\begin{eqnarray*} f(1)=e^{1}-sin(1) -2= -0,123 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(1)=2,718 - 0,8414 -2= -0,123 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2)=e^{\sqrt 2}-sin(2) -2= 1,20395 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(2)=4,113-0,9092 -2= 1,20395 \end{eqnarray*}$

27.01.2013, 16:07

Che Netzer

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unglücklich

1. Es ist $\begin{eqnarray*} \mathrm e\neq2,718 \end{eqnarray*}$ .
2. WOHER kommen diese Zahlen? Wieso sollte die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(1)=e^{1}-sin(1) -2= -0,123 \end{eqnarray*}$ gelten?

27.01.2013, 16:18

mathe1a

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Die Zahl e habe ich gerundet aufgeschrieben, genauso wie sin(1).

Ich hätte vielleicht besser schreiben sollen: f(1) $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ -0,123

Die Gleichung gilt wegen:
$\begin{eqnarray*} e^{\sqrt(x)}=sin(x)-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=e^{\sqrt(x)}-sin(x)+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)=e^{\sqrt(x)}-sin(x)+2 \end{eqnarray*}$

27.01.2013, 16:25

Che Netzer

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Zitat:

Original von mathe1a
Ich hätte vielleicht besser schreiben sollen: f(1) $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ -0,123

Aber wie bitteschön kommst du auf diese Annäherung?
Wieso denn nicht $\begin{eqnarray*} f(1)\approx9,316 \end{eqnarray*}$ ?

Und da es nur eine Annäherung ist: Woher weißt du, dass der dabei gemachte Fehler nicht so groß ist, dass $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ in Wirklichkeit positiv ist?

27.01.2013, 16:41

mathe1a

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weil $\begin{eqnarray*} e^{1} = 2,718..., sin(1)=0,8414... \end{eqnarray*}$

Das in die Formel eingesetzt ergibt:
$\begin{eqnarray*} 2,718 - 0,8414 -2= -0,123 \end{eqnarray*}$

27.01.2013, 16:45

Che Netzer

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Zitat:

Original von mathe1a
weil $\begin{eqnarray*} e^{1} = 2,718..., sin(1)=0,8414... \end{eqnarray*}$

Und wieso soll das gelten? Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \sin(1)=0,8414\dotso \end{eqnarray*}$ ?
Diese Ziffen müssen doch irgendwo herkommen?

27.01.2013, 17:27

mathe1a

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Weil der Radian von sin(1) = 0.841.. ist.
und die eulerische Zahl e $\begin{eqnarray*} e = 2,718... \end{eqnarray*}$ ist so definiert.

27.01.2013, 17:32

Che Netzer

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Zitat:

Original von mathe1a
Weil der Radian von sin(1) = 0.841.. ist.

WIESO soll das so sein?
Ich könnte jetzt auch $\begin{eqnarray*} \sin(1)=-0,563\dotso \end{eqnarray*}$ behaupten.
Begründe, wieso $\begin{eqnarray*} \sin(1)=0,841\dotso \end{eqnarray*}$ gilt. Mit welcher Rechtfertigung benutzt du diese Gleichung/Annäherung?

27.01.2013, 17:48

mathe1a

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Die Sinus Funktion ist eine Reihe für die gilt :
sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...

setzt man nun x=1 kommt man auf die Annäherung.

27.01.2013, 18:32

Che Netzer

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Na das ist ja schonmal etwas besser begründet.
Aber sowas auszurechnen, ist doch nicht schön.
Rechne also lieber mit $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ .

27.01.2013, 19:13

mathe1a

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Wenn ich das ganze mit f(0) rechne, komme ich auf
$\begin{eqnarray*} f(0)=e^{\sqrt(x)}-sin(x)-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0)=1-0-2=-1 \end{eqnarray*}$

Demnach müsste sich im Intervall [0,2] eine Nullstelle befinden.

27.01.2013, 19:17

Che Netzer

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Naja, erstmal hat man schnell $\begin{eqnarray*} f(0)=-1<0 \end{eqnarray*}$ gezeigt. Dass $\begin{eqnarray*} f(2)>0 \end{eqnarray*}$ , müsstest du aber auch sauber begründen. Oder du suchst eine andere Stelle oder betrachtest $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\sqrt x}\geq1+\sqrt x \end{eqnarray*}$ bekannt?

27.01.2013, 19:26

mathe1a

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ist $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\sqrt x}\geq1+\sqrt x \end{eqnarray*}$ bekannt?

Nein. Und in wie fern würde mir diese Ungleichung helfen?

27.01.2013, 19:43

Che Netzer

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Damit könntest du zeigen, dass ein $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ existiert.

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