Vollst. Induktion, Binomialkoeffizient

27.01.2013, 16:23	lalilululila	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollst. Induktion, Binomialkoeffizient Meine Frage: Hallo, ich soll folgende Aussage mit vollständiger Induktion beweisen: Für alle n $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 0 und k $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ n gilt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Als Induktionsanfang habe ich als n 1 gewählt und als k 0, da k ja kleiner (gleich) sein soll als n. Nun weiß ich nicht, wie ich beim Induktionsschritt vorgehen soll; ich habe für n "(n+1)" eingesetzt und k so gelassen. Geht das? Und wie muss ich das umformen? Bisher habe ich Induktion nur mit Summenzeichen auf der einen Seite gemacht, da ist es ja dann einfach so, dass man beweisen muss, dass, wenn man auf der anderen Seite " + (n+1 irgendwas) schreibt, das gleiche rauskommt, wie wenn man einfach für n "(n+1)" einsetzt. Aber das geht ja nun hier nicht..
27.01.2013, 17:23	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du dir denn wirklich ganz sicher, dass das mit vollständiger Induktion machen sollst? Das geht eigentlich sehr schön direkt mit der Definition $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} := \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \end{eqnarray}$
27.01.2013, 17:53	lalilululila	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm Jetzt, wo du's sagst, bin ich mir gar nicht mal so sicher. Das ist nämlich Aufgabe 4, bei Aufgabe 3 stand, dass man durch vollständige Induktion beweisen soll, weshalb ich das auf 4) übertragen hatte aber bei der steht genau genommen nur noch "beweisen Sie". Aber es heißt ja "für alle n>= 0 und k<= n gilt: ..." Muss man das nicht irgendwie mit reinbringen? Das geht ja dann nur mit Induktion, oder? Und die nächste Aufgabe 4b) lautet: Beweisen Sie: Für alle n $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 0 gilt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 2^{n} \end{eqnarray}$ . Und das kann man ja nicht nur über den Binomialkoeffizienten beweisen, oder? Aber mit Induktion habe ich es auch noch nicht hinbekommen.. Also ich glaube schon, dass man das auch mit Induktion machen soll... :/
27.01.2013, 19:40	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, glaube mir, Induktion ist hier völlig fehl am Platz. Setze hier die Definition des Binomialkoeffizient ein: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} = \dots \end{eqnarray}$ Und bringe dann alles auf einen Hauptnenner. Dann nochmal scharf draufsehen
27.01.2013, 20:24	lalilululila	Auf diesen Beitrag antworten »
. Danke, jetzt habe ich es endlich hingekriegt!! Nur schade, dass ich den ganzen Nachmittag damit verplempert habe, das mit Induktion zu versuchen..

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