Erster Isomorphiesatz

27.01.2013, 16:55

Tesserakt

Erster Isomorphiesatz

Guten Tag.
Ich möchte folgenden Teil des ersten Isomorphiesatzes zeigen:

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe mit der Untergruppe $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und dem Normalteiler $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} HN \end{eqnarray*}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit Normalteiler $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \cap N \end{eqnarray*}$ ist Normalteiler von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} HN = \{h * n ~ | ~ h \in H,\; n \in N \} \end{eqnarray*}$ kann man über die Normalteiler-Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zeigen, dass $\begin{eqnarray*} HN \end{eqnarray*}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sein muss ( $\begin{eqnarray*} HN \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen, zu jedem Element existiert ein inverses Element in $\begin{eqnarray*} HN \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} HN \subset G \end{eqnarray*}$ trivialerweise).

Um zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Normalteiler von $\begin{eqnarray*} HN \end{eqnarray*}$ ist, bin ich so vorgegangen:
Wegen $\begin{eqnarray*} HN \subset G \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \forall x \in HN\colon x \in G \end{eqnarray*}$ . Ergo $\begin{eqnarray*} xH = Hx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in HN \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung.

Ist diese Beweisführung soweit richtig?

Reicht es nun aus, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} H \cap N \end{eqnarray*}$ Normalteiler von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist, dass man zeigt, dass der Kern des Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi\colon\ H \to HN/N,\; h \mapsto hN \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} H \cap N \end{eqnarray*}$ ist, oder muss ich zuvor erst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus ist?

Vielen Dank im Voraus für die Ratschläge.

27.01.2013, 17:35

Monoid

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RE: Erster Isomorphiesatz
Das ist bisher richtig. Freude

Wenn es klar ist, dass es sich bei phi um ein Gruppenhom. handelt, musst du das nicht mehr zeigen. Das würde ich zur Sicherheit jedoch trotzdem machen.

27.01.2013, 17:45

Tesserakt

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ok, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ Gruppenhomomorphismus ist, sollte relativ einfach gehen:

Mit $\begin{eqnarray*} x,y \in H \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} \varphi(x * y) = (x * y)N \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \varphi(x) * \varphi(y) = xN * yN = (x * y)N \end{eqnarray*}$ , folglich
$\begin{eqnarray*} \varphi(x * y) = \varphi(x) * \varphi(y) \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus zwischen $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} HN/N \end{eqnarray*}$ - q.e.d.

Gut. Dann wäre das auch geklärt. Jedenfalls, vielen Dank!

27.01.2013, 17:50

Monoid

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RE: Erster Isomorphiesatz

Zitat:

Original von Tesserakt
Guten Tag.
Ich möchte folgenden Teil des ersten Isomorphiesatzes zeigen:

Zitat:

Mit $\begin{eqnarray*} HN = \{h * n ~ | ~ h \in H,\; n \in N \} \end{eqnarray*}$ kann man über die Normalteiler-Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zeigen, dass $\begin{eqnarray*} HN \end{eqnarray*}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sein muss ( $\begin{eqnarray*} HN \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen, zu jedem Element existiert ein inverses Element in $\begin{eqnarray*} HN \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} HN \subset G \end{eqnarray*}$ trivialerweise).

Um zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Normalteiler von $\begin{eqnarray*} HN \end{eqnarray*}$ ist, bin ich so vorgegangen:
Wegen $\begin{eqnarray*} HN \subset G \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \forall x \in HN\colon x \in G \end{eqnarray*}$ . Ergo $\begin{eqnarray*} xH = Hx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in HN \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung.

Ist diese Beweisführung soweit richtig?

Reicht es nun aus, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} H \cap N \end{eqnarray*}$ Normalteiler von $\begin{eqnarray*} HN \end{eqnarray*}$ ist, dass man zeigt, dass der Kern des Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi\colon\ H \color{red} \cap N \color{red} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to HN/N,\; h \mapsto hN \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} H \cap N \end{eqnarray*}$ ist, oder muss ich zuvor erst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus ist?

Vielen Dank im Voraus für die Ratschläge.

Das rote ist noch wichtig. Hatte ich übersehen.

Dein Beweis, dass es sich um einen Gruppenhom. handelt ist richtig.

27.01.2013, 18:00

Tesserakt

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Wieso denn das?
Der Kern eines Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist immer Normalteiler der Gruppe.

Und mit $\begin{eqnarray*} \varphi\colon\ H \to HN/N,\; h \mapsto hN \end{eqnarray*}$ ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \ker(\varphi) = \{h \in H ~ | ~ hN = N\} = \{h \in H ~ | ~ h \in N\} = H \cap N \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} HN/N \end{eqnarray*}$ ist, und $\begin{eqnarray*} hN = N \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} h \in N \end{eqnarray*}$ .
Folglich ist $\begin{eqnarray*} H \cap N \end{eqnarray*}$ Normalteiler von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ .

27.01.2013, 18:05

Monoid

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Ja, stimmt. Sorry, habe 2 Aufgaben verwechselt. Entschuldigung nochmal. smile

27.01.2013, 18:08

Tesserakt

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Ok. Wie dem auch sei, trotzdem vielen Dank für die Hilfe. smile

27.01.2013, 18:16

Monoid

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Nicht's zu danken! Wink

28.01.2013, 01:06

zweiundvierzig

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RE: Erster Isomorphiesatz

Zitat:

Original von Tesserakt
Reicht es nun aus, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} H \cap N \end{eqnarray*}$ Normalteiler von $\begin{eqnarray*} HN \end{eqnarray*}$ ist, dass man zeigt, dass der Kern des Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi\colon\ H \to HN/N,\; h \mapsto hN \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} H \cap N \end{eqnarray*}$ ist, oder muss ich zuvor erst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus ist?

Man sieht Anhand der Definition eines Normalteilers, dass Schnitte beliebiger Untergruppen mit einem Normalteiler selbst wieder normal sind.

28.01.2013, 01:11

Tesserakt

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Das stimmt wohl. Die Begründung hierüber ist sogar einfacher. Danke für den Hinweis.

28.01.2013, 01:33

zweiundvierzig

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Gern geschehen. smile

28.01.2013, 02:31

Tesserakt

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Ah, gemeint ist natürlich, dass $\begin{eqnarray*} H \cap N \end{eqnarray*}$ Normalteiler von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist (im Startbeitrag habe ich's wohl falsch geschrieben).

Der Beweis ist dennoch relativ einfach: (für zukünftige Fragesteller poste ich ihn dennoch)

$\begin{eqnarray*} H \cap N \end{eqnarray*}$ ist eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ (Abgeschlossenheit und Existenz eines inversen Elementes folgen unmittelbar aus der Definition der Schnittmenge).
Sei nun $\begin{eqnarray*} h(H \cap N) \end{eqnarray*}$ Linksnebenklasse mit $\begin{eqnarray*} h \in H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \in h(H \cap N) \end{eqnarray*}$ . Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} u \in H \cap N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t = h * u \in H \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} u \in N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} t \in hN \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} t \in Nh \end{eqnarray*}$ , sodass ein $\begin{eqnarray*} u' \in N \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} t = u' * h \end{eqnarray*}$ .
Somit gilt wegen $\begin{eqnarray*} t \in H \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} u' \in H \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} u' \in H \cap N \end{eqnarray*}$ .
Unmittelbar folgt $\begin{eqnarray*} t \in (H \cap N)h \end{eqnarray*}$ und somit, dass $\begin{eqnarray*} H \cap N \end{eqnarray*}$ Normalteiler von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist. - q.e.d.

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