Erster Isomorphiesatz

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Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »
Erster Isomorphiesatz
Guten Tag.
Ich möchte folgenden Teil des ersten Isomorphiesatzes zeigen:
Zitat:
Ist eine Gruppe mit der Untergruppe und dem Normalteiler , dann ist Untergruppe von mit Normalteiler und ist Normalteiler von .


Mit kann man über die Normalteiler-Eigenschaft von zeigen, dass Untergruppe von sein muss ( ist abgeschlossen, zu jedem Element existiert ein inverses Element in und trivialerweise).

Um zu beweisen, dass Normalteiler von ist, bin ich so vorgegangen:
Wegen gilt . Ergo für alle nach Voraussetzung.

Ist diese Beweisführung soweit richtig?

Reicht es nun aus, um zu zeigen, dass Normalteiler von ist, dass man zeigt, dass der Kern des Gruppenhomomorphismus gleich ist, oder muss ich zuvor erst zeigen, dass ein Gruppenhomomorphismus ist?

Vielen Dank im Voraus für die Ratschläge.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erster Isomorphiesatz
Das ist bisher richtig. Freude

Wenn es klar ist, dass es sich bei phi um ein Gruppenhom. handelt, musst du das nicht mehr zeigen. Das würde ich zur Sicherheit jedoch trotzdem machen.
 
 
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

ok, zu zeigen, dass Gruppenhomomorphismus ist, sollte relativ einfach gehen:

Mit ergibt sich
und , folglich
, also ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen und - q.e.d.

Gut. Dann wäre das auch geklärt. Jedenfalls, vielen Dank!
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erster Isomorphiesatz
Zitat:
Original von Tesserakt
Guten Tag.
Ich möchte folgenden Teil des ersten Isomorphiesatzes zeigen:
Zitat:
Ist eine Gruppe mit der Untergruppe und dem Normalteiler , dann ist Untergruppe von mit Normalteiler und ist Normalteiler von .


Mit kann man über die Normalteiler-Eigenschaft von zeigen, dass Untergruppe von sein muss ( ist abgeschlossen, zu jedem Element existiert ein inverses Element in und trivialerweise).

Um zu beweisen, dass Normalteiler von ist, bin ich so vorgegangen:
Wegen gilt . Ergo für alle nach Voraussetzung.

Ist diese Beweisführung soweit richtig?

Reicht es nun aus, um zu zeigen, dass Normalteiler von ist, dass man zeigt, dass der Kern des Gruppenhomomorphismus gleich ist, oder muss ich zuvor erst zeigen, dass ein Gruppenhomomorphismus ist?

Vielen Dank im Voraus für die Ratschläge.


Das rote ist noch wichtig. Hatte ich übersehen.

Dein Beweis, dass es sich um einen Gruppenhom. handelt ist richtig.
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso denn das?
Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist immer Normalteiler der Gruppe.

Und mit ergibt sich
, da das neutrale Element von ist, und für alle .
Folglich ist Normalteiler von .
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt. Sorry, habe 2 Aufgaben verwechselt. Entschuldigung nochmal. smile
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Wie dem auch sei, trotzdem vielen Dank für die Hilfe. smile
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht's zu danken! Wink
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erster Isomorphiesatz
Zitat:
Original von Tesserakt
Reicht es nun aus, um zu zeigen, dass Normalteiler von ist, dass man zeigt, dass der Kern des Gruppenhomomorphismus gleich ist, oder muss ich zuvor erst zeigen, dass ein Gruppenhomomorphismus ist?

Man sieht Anhand der Definition eines Normalteilers, dass Schnitte beliebiger Untergruppen mit einem Normalteiler selbst wieder normal sind.
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt wohl. Die Begründung hierüber ist sogar einfacher. Danke für den Hinweis.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. smile
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, gemeint ist natürlich, dass Normalteiler von ist (im Startbeitrag habe ich's wohl falsch geschrieben).

Der Beweis ist dennoch relativ einfach: (für zukünftige Fragesteller poste ich ihn dennoch)

ist eine Untergruppe von (Abgeschlossenheit und Existenz eines inversen Elementes folgen unmittelbar aus der Definition der Schnittmenge).
Sei nun Linksnebenklasse mit und . Dann existiert ein mit . Wegen ist , also auch , sodass ein existiert mit .
Somit gilt wegen auch , sodass .
Unmittelbar folgt und somit, dass Normalteiler von ist. - q.e.d.
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