Landausymbole in Ln

27.01.2013, 18:50	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Landausymbole in Ln Ich habe mal wieder meine Probleme mit Aufgabestellungen mit Landausymbolen. Letztes mal hatte ich schon an einer sehr simplen Aufgabe gestockt, dieses mal finde ich erneut nichts zum Anfangen. Taylorentwicklungen hatten wir offiziell noch nicht, bekannt sind Dinge wie Differentialrechnung, verschiedene Mittelwertsätze, l'Hopital, Anfänge der Integralrechnung u.a.. Wenn das abstrakte Verständnis mit Taylorentwicklung oder ähnlichem besser erklärt werden kann nehme ich das auch gerne an, mein Problem ist, dass ich überhaupt nicht weiss, wo ich anfangen soll. $\begin{eqnarray} \text{Von einer Funktion }f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\text{ sei bekannt:} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=2x+3x²+4x³+o(x³)\text{ für }x\to 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Zeigen Sie }\log (1+x)=x-\frac{1}{2}x²+o(x²)\text{ für }x\to 0 \end{eqnarray}$ Hier brachte mir eine doppelte Anwendung von l'Hopital (da die Ableitungen wieder stetig sind) mit geeigneter Zwischenstelle: $\begin{eqnarray} \frac{\log (1+x)-x+\frac{1}{2}x²}{x²}=\frac{\frac{d²}{dy²}\left(\log (1+y)-y+\frac{1}{2}y²\right)}{\frac{d}{dy²}y²}\Bigg\|_{y=\zeta (x)}\overset{x\to 0}{\to}0 \end{eqnarray}$ Jetzt kommt aber der nächste Schritt, bei dem ich wie ein Schwein ins Uhrwerk schaue: $\begin{eqnarray} \text{und finden Sie (mit Begründung) }a,b\in\mathbb{R}\text{ mit} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \log (1+f(x))=ax+bx²+o(x²)\text{ für }x\to 0 \end{eqnarray}$ Das o(x³) ist im Logarithmus, mit Plus verknüpft und Ableiten kann ich auch nicht mehr (zumindest nicht, dass mir bekannt wäre). Nochmal die komplette Aufgabe (man erkennt, dass es noch eine ähnliche Aufgabe (b) gibt, aber beschränken wir uns erstmal auf (a), vielleicht komme ich auf die (b) dann ja ) [attach]28112[/attach]
27.01.2013, 19:01	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landausymbole in Ln Zum zweiten Aufgabenteil setze die Gleichung für $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ in die vorher gezeigte ein.
27.01.2013, 19:33	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah! Zuerst einmal ist $\begin{eqnarray} f(x)=2x+3x²+o(x²) \end{eqnarray}$ (schwächere Abschätzung) $\begin{eqnarray} f²(x)=...=4x²+o(x²) \end{eqnarray}$ (schwache Abschätzung) und damit $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}f²(x)=-2x²+o(x²) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} o(f²(x))=o(x²) \end{eqnarray}$ Insgesamt ergibt sich mit der zuvor gezeigten Formel $\begin{eqnarray} \log (1+f(x))=f(x)-\frac{1}{2}f²(x)+o(f²(x))=2x+x²+o(x²) \end{eqnarray}$ edit: stimmt das so grob? edit2: alles für $\begin{eqnarray} x\to 0 \end{eqnarray}$
27.01.2013, 19:47	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Werte hatte ich auch heraus, ja. Die dritten Potenzen spielen dann vermutlich in b) eine Rolle.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »