Integral berechnen. Was ist falsch?

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27.01.2013, 19:30

Garnelengeschmack

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Integral berechnen. Was ist falsch?

Hi Leute!

Was habe ich nur bei meinem Integral falsch gemacht? ich komme nicht drauf.
kann mir jemand Helfen?

Danke!!

27.01.2013, 21:19

Dopap

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keine Ahnung was du da rechnest. Es fehlt lesbare Darstellung und ein paar Worte...

ohne viel Rechnerei sieht man, dass $\begin{eqnarray*} -\frac 14 e^{-2x^2}+c \end{eqnarray*}$

eine Stammfunktion ist.

27.01.2013, 21:27

Garnelengeschmack

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Das ist komisch, ich habe hier nämlich vorgegeben,
dass von f(x) = x*e^x
die Stammfunktion x*e^x - Integral (x*e^x) ist

das Ergebnis somit: x*e^x-e^x+c

Wieso wird hier die ganze Funktion nochmal mit dem Integral Multipliziert?

27.01.2013, 21:34

Mystic

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Zitat:

Original von Garnelengeschmack
Wieso wird hier die ganze Funktion nochmal mit dem Integral Multipliziert?

Das ist ja auch falsch: Es wird eben ncht die ganze Funktion mit dem Integral, äh, "multipliziert", sondern nur e^x...

Und was dieses Integral mit dem hier vorliegenden zu tun haben soll, musst du auch erst mal erklären... Oder ist es deiner Meinung nach egal, ob da x oder -x² im Exponenten steht? geschockt

27.01.2013, 21:43

Garnelengeschmack

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nein nein.. ich dachte nur es sei so richtig..
ich muss soweit ich weiß Folgendes tun:

bei x*e^x dx

1. Ich muss Z=g(x), g'(x) und f(Z) bestimmen (das kann ich ganz gut)

Z=g(x)= x (der Exponent)
g'(x) = 1
f(Z) = e^z

2. Ich muss 1/g'(x) vor das Integral setzen und dann das Integral Integrieren

Also: (1/1)*Integral(e^z)
Ergibt: 1*e^z

3. Ich muss z wieder einsetzen:

Ergibt als Lösung: 1*e^x

Mit den Grenzen 0 und 1 ergibt das den Integralwert 1,718 was FALSCH IST unglücklich

27.01.2013, 21:49

Garnelengeschmack

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Ist das bei Funktionen mit x*e^x immer so, dass ich das e^x nochmal vor das Integral ziehen muss? Muss ich dann trotzdem noch 1/g'(x) vor das Integral ziehen?

27.01.2013, 21:59

Dopap

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Allgemein: das sieht furchtbar nach auswendig gelernt aus. Sowas ist nicht zu empfehlen.

Besser wäre es , du würdest erklären, nach welcher Methode es gehen soll:

Substitution ? partielle Integration ? oder sonst was?

27.01.2013, 22:01

Mystic

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Au weia, das ist alles so unglaublich falsch, dass man gar nicht weiß, wo man da anfangen soll... Am besten, wir vergessen das Ganze überhaupt und ich sage dir worauf es ankommt...

1. $\begin{eqnarray*} \int e^x dx =e^x+C \end{eqnarray*}$ oder eine Spur allgemeiner $\begin{eqnarray*} \int e^{ax+b} dx = \frac 1a \cdot e^{ax+b}+C \end{eqnarray*}$

Beides kann man sofort durch ableiten bestätigen und sollte man auswendig lernen . (Ja, richtig gehört, es gibt auch in der Mathematik Dinge , die man auswendig lernen muss, auch wenn es Formelhefte und Internet gibt, was dies scheinbar überflüssig macht!)

2. Ebenfalls auswendig können sollte man die Regel für partielle Integration

$\begin{eqnarray*} \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x) dx \quad (*) \end{eqnarray*}$

Dies unbedingt so merken: Der Integrand muss aufgespalten werden in zwei Faktoren, hier f(x) und g'(x), sodass f'(x)g(x) integrierbar (oder zumindestens einfacher) wird... Insbesondern muss zu g'(x) eine Stammfunktion g(x) entweder bekannt oder leicht ermittelbar sein... Wenn man sich die rechte Seite von (*) genauer ansieht, so sieht man, dass die Stammfunktion beide(!) Male zum Einsatz kommt, während f(x) vor dem Integral unverändert bleibt und nur unter dem Integral zur Ableitung verändert wird.

Und nun versuch bitte $\begin{eqnarray*} xe^x \end{eqnarray*}$ nochmals zu integrieren... Wie wird man hier f(x) und g'(x) zweckmäßigerweise wählen?

27.01.2013, 22:11

Garnelengeschmack

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Irgendwie muss man es ja lernen oder?

bei Brüchen habe ich keine Probleme, da klappt meine Anleitung super..

Was ist denn die einfachste Methode für e Funktionen mit allen möglichen Exponenten?

z.B Für 2x*e^(-x)

Also ich würde jetzt Folgendes tun:

-x*e^-x - Integral (2x*e^-x)

= -x*e^-x - (-1)*e^-x

=-x*e^-x + e^-x

( Für 0 und 1 als Gerenzen) = bekomme ich mit dem Taschenrechner raus: -1

auch FALSCH unglücklich

27.01.2013, 22:20

Garnelengeschmack

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Okay.. danke für die Hilfe erstmal.

Ich versuche es mal:

Integral (x*e^x)

x ist also ein Faktor und e^x der andere!

dann habe ich x*e^x - Integral( 1*e^x)

ergibt die Stammfunktion: x*e^x - e^x +c richtig?

soll ichs mal mit der ersten Funktion versuchen und posten?

Danke nochmal!

27.01.2013, 22:33

GArnelengeschmack

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bei x*e^(-2x^2)

müsste die Stammfunktion nach der Ersten und der Zweiten Formal von dir Folgende sein:

1/-4x * e^(-2^2)

Aber jetzt habe ich doch das x am Anfang des Integrals gar nicht mit berücksichtigt?!

27.01.2013, 22:58

Mystic

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Für die eigentliche Aufgabe ist partielle Integration ungeeignet, hier musst du u=-2x² substituieren...

27.01.2013, 23:10

Garnelengeschmack

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Nach der Formel: $\begin{eqnarray*} \int e^{ax+b} dx = \frac 1a \cdot e^{ax+b}+C \end{eqnarray*}$

müsste für x*e^(-2x^2)
aber theoretisch -0,5x*e^(-2x^2) rauskommen

oder gilt bei dieser Regel auch dass Exponenten im Exponent immer abgeleitet werden?

damit -0,25x*e^(-2x^2) heraus kommt!

Ich bin leider noch verwirrter als vorher unglücklich

Kann man denn sagen das sich eine Partielle Ableitung nur dann lohnt wenn der Exponent simpel ist?

27.01.2013, 23:14

Mystic

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Zitat:

Original von Garnelengeschmack
Nach der Formel: $\begin{eqnarray*} \int e^{ax+b} dx = \frac 1a \cdot e^{ax+b}+C \end{eqnarray*}$

müsste für x*e^(-2x^2)
aber theoretisch -0,5x*e^(-2x^2) rauskommen

Der Exponent -2x² ist nicht von der Form ax+b mit reellen Konstanten(!) a und b, also ist diese Regel auch nicht anwendbar... geschockt

27.01.2013, 23:19

Garnelengeschmack

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Wenn es nur eine Regel für alles gäbe...
Wenn sie noch so kompliziert wäre, ich würde sie auswendig lernen!

Wann MUSS ich partiell ableiten?

denn -0,25*e^(-2x^2) wurde ja nicht partiell Integriert
dann sollte man doch die Simplere Form x*e^x auch Integrieren können OHNE dass man es partiell macht?

Entschuldige, dass ich so nervig bin!

27.01.2013, 23:46

Mystic

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Bitte einfach zu beachten, was ich oben schon geschrieben habe, nämlich

Zitat:

Original von Mystic
Für die eigentliche Aufgabe ist partielle Integration ungeeignet, hier musst du u=-2x² substituieren...

Es wäre naiv zu glauben, dass man jedes Integral mit partieller Integration lösen kann... Wahr ist vielmehr, dass es für die weitaus meisten Integrale überhaupt keine geschlossene Formel für die Stammfunktion gibt...

28.01.2013, 00:13

Garnelengeschmack

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Dankeschön! Ich werde noch ein bisschen mit deinen Formeln üben!

28.01.2013, 17:52

Garnelengeschmack

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RE: Integral berechnen. Was ist falsch?
Habe jetzt etwas Übung!
Zur Prüfung darf ich auch Unterlagen mitnehmen,
daraufhin habe ich Folgendes entworfen!

Wäre sehr dankbar wenn du da mal drüber schauen könntest!

28.01.2013, 19:38

Mystic

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RE: Integral berechnen. Was ist falsch?
Die erste Aufgabe stimmt soweit, nur fehlen formal die Differenziale dx bzw dz... Dies gilt auch für die zweite Aufgabe, nur ist da außerdem die Rechnung und das Ergebnis falsch... Die dritte und vierte Aufgabe stimmen aber wieder (bis auf die fehlenden Differenziale dx auf der rechten Seite)... Freude

28.01.2013, 20:13

Garnelengeschmack

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Juhu ich mache Fortschritte!

dann müsste ja jetzt alles richtig sein!

28.01.2013, 20:20

Garnelengeschmack

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Bei der zweiten Aufgabe heißt es eigentlich: (1/-2x)*2x !! habe es aber gekürzt

28.01.2013, 20:56

Mystic

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Naja, 2 fehlende Differenziale dx habe ich noch entdeckt, aber sonst scheint jetzt alles zu stimmen... Freude

28.01.2013, 20:57

Garnelengeschmack

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Ok! ich weiß welche du meinst!

Danke nochmal, du warst mir eine sehr große Hilfe!

Der Fall kann geschlossen werden =)

28.01.2013, 21:31

Mystic

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Gern geschehen... Augenzwinkern

Hier zum Abschluß noch ein paar Tipps (Lehrer mögen bitte weghören, denn jetzt wird es vermutlich für manche von ihnen grauslich! Big Laugh

)...

Wenn du sowas sowas siehst wie

$\begin{eqnarray*} \int h(x)f(g(x)) dx \end{eqnarray*}$

wobei h(x) bis auf ev. einen konstanten Faktor gleich g'(x) ist und wenn du die Stammfunktion F(x) von f(x) kennst, also F'(x)=f(x), dann gilt

$\begin{eqnarray*} \int h(x)f(g(x)) dx= \frac {h(x)F(g(x))}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int x e^{-2x^2} dx \end{eqnarray*}$

Hier ist

$\begin{eqnarray*} h(x)=x, g(x)=-2x^2, g'(x)=-4x, f(x)=e^x, F(x)=e^x, \end{eqnarray*}$

d.h., obige Bedingung, das sich h(x) und g'(x) nur duch einen konstanten Faktor unterscheiden ist erfüllt... Daher gilt

$\begin{eqnarray*} \int x e^{-2x^2} dx= \frac {x e^{-2x^2}}{-4x} =-\frac 14 e^{-2x^2} \end{eqnarray*}$

Wenn du sowas siehst wie

$\begin{eqnarray*} \int h(x)e^x dx \end{eqnarray*}$

wobei h(x) ein Polynom vom Grad n ist, dann setz ganz frech die Stammfunktion als

$\begin{eqnarray*} (a_nx^n+\ldots+a_x+a_0)e^x \end{eqnarray*}$

mit unbestimmten Koeffizienten an, leite diese ab, und bestimme die Werte der Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ durch Vergleich mit den Koeffizienten von h(x)...

Beispiel: $\begin{eqnarray*} \int x e^x dx = (ax+b)e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((ax+b)e^x)'= (ax+b+a)e^x=xe^x \Rightarrow a=1, b=-1 \end{eqnarray*}$

Das ganze funktioniert auch allgemeiner mit $\begin{eqnarray*} e^{ax+b} \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ...

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