Konvergenz und Grenzwert

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27.01.2013, 19:55	moncherie92	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und Grenzwert Meine Frage: $\begin{eqnarray} (i) (a_{n} ) = \frac{n}{2^{n} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (ii) (a_{n} ) = \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n} ) \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Hallo.. ich arbeite mich gerade in die Materie der Konvergenz und Grenzwertbetrachtungen und bitte diesbezüglich um ein wenig Hilfe Bei i) würde ich erstmal das Wurzelkriterium anwenden, um die Konvergenz zu prüfen, damit käme ich zu folgendem: $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{n}{2^{n} } } ^{1/n} = \frac{\sqrt{n} ^{1/n} }{2} \end{eqnarray}$ In meinem skript steht nun, dass die n-te Wurzel aus n gegen 1 konvergiert. Somit bekomme ich für den gesamten Ausdruck 1/2 raus. und da 1/2 < 1 ist, ist die Folge konvergent - soweit richtig? Beim bestimmen des Grenzwertes habe ich nun schon meine Probleme.. Kann man das einfach anhand der Wachstumshierarchie begründen? Im Skript steht nämlich eine kleine Tabelle, aus der hervorgeht, dass n^a (hier: a=1) langsamer gegen unendlich geht, als q^n (hier: q=2).. Damit würde ich den Grenzwert 0 begründen.. Wie ich es rechnerisch zeigen würde, wüsste ich nicht^^ Zu ii) hab ich nichtmal einen Ansatz um die Konvergenz zu zeigen... Danke schonmal im Vorraus LG Marcel
27.01.2013, 19:57	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Du wirfst hier gerade Folgen und Reihenkonvergenz durcheinander. Sollst du die Folgen auf Konvergenz untersuchen oder die jeweils zugehörigen Reihen, wenn du die Folgenglieder aufsummierst? Ich komme darauf, weil das Wurzelkriterium für Reihen gedacht ist. Natürlich könntest du daraus auch auf den Grenzwert der Folge schließen, aber ich denke eher, dass du da was verwechselst. Deswegen sollte erstmal Klarheit geschafft werden, was du meinst.
27.01.2013, 19:59	moncherie92	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in DIESER Aufgabenstellung soll man den Grenzwert berechnen, nur ich dachte bei Folgen kann man auch auf Konvergenz prüfen - ist dem nur so, wenn sie in einer Reihe verpackt sind?
27.01.2013, 20:02	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein nein, das ist schon möglich. Die Reihenkonvergenz ist sogar durch Folgenkonvergenz definiert. Ich wundere mich nur, dass du das Wurzelkriterium verwendest. Denn das ist dafür da, um Reihen auf Konvergenz zu überprüfen. Edit: Du könntest aber deine Beobachtung trotzdem nutzen. Da das Wurzelkriterium erfüllt ist, konvergiert die Reihe über n/2^n. Dann muss für die Folge aber notwendigerweise schon .... sein. .... selber ausfüllen
27.01.2013, 20:26	moncherie92	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Reihen über einer Folge sind doch irgendwie die Folgen der Partialsummen oder? Was auch immer das bedeuten mag, da blick ich auch noch nicht so ganz hinter.. Wie ich dein .... füllen soll weiß ich auch nicht so recht, würde evtl sagen, dass dahin kommt "eine Partialsumme definiert" kommt? Echt keine Ahnung....
27.01.2013, 20:34	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nunja, damit eine Reihe konvergiert, muss die summierte Folge auf jeden Fall Nullfolge sein. Wenn also eine Reihen konvergiert, was kann man dann auf jedenfall über die summierte Folge aussagen? Es scheint mir aber, du solltest nocheinmal gründlich deine Definitionen wälzen, das sieht mir her sehr nach stochern im Schwarzen aus.
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27.01.2013, 20:37	moncherie92	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja wie gesagt habe gestern angefangen mich ins Thema einzuarbeiten und mir fällt "learning by doing" meist deutlich einfacher^^ Die summierte Folge, also meine Fole?, müsste dann eine Nullfolge sein! Laut einer Definition ist jede Folge, die gegen 0 konvergiert eine Nullfolge, aber wie würde ich das andersrum zeigen? Könnte einerseits die Monotonie zeigen, aber die Beschränktheit auf 0 wüsste ich keinen Ansatz zu
27.01.2013, 21:15	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube wir haben uns missverstanden. Du hast ja das Wurzelkriterium auf $\begin{eqnarray} (\frac{n}{2^n}) \end{eqnarray}$ angewandt. Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} \end{eqnarray}$ konvergiert. Darauf folgt dann aber bereits, dass $\begin{eqnarray} (\frac{n}{2^n}) \end{eqnarray}$ Nullfolge ist, denn sonst könnte die Reihe garnicht konvergieren. Damit bist du mit deiner ersten Aufgabe fertig. Der Grenzwert ist 0. Das ist zwar ein bisschen wie mit Raketen auf Fliegen schießen, aber es benutzt deinen Ansatz mit dem Wurzelkriterium, deswegen dachte ich, du könntest damit etwas anfangen. Für deine 2. Folge würde ich geschickt die 3. binomische Formel ausnutzen und mit $\begin{eqnarray} \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \end{eqnarray}$ erweitern.
28.01.2013, 16:27	moncherie92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir! Wie würde ich denn allgemein zeigen, dass der Grenzwert 0 ist, wenn ich nicht mit Raketen auf Fliegen schießen würde? Mit meiner Argumentation der "Wachstumshierarchie", oder gibts da noch einen Weg den ich nicht sehe? Die dritte binomische Formel sehe ich ein, da werd ich nochn paar Aufgaben zu suchen, damit ich das sehe und ansonsten ist das keine Kunst Danke! LG
28.01.2013, 22:13	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, ganz elementar könntest du zb. zeigen, dass für n>3 folgendes gilt: 2^n>=n^2. Damit folgt dann n/2^n <= n/n^2 = 1/n für n>=3. Also insgesamt 0<n/2^n<=1/n für n>3. Dann kannst du das Sandwhichtheorem verwenden (vielleicht ist es dir auch als Einschnürungssatz bekannt)
29.01.2013, 19:47	moncherie92	Auf diesen Beitrag antworten »
Sandwichlemma oder Einschließungskriterium heißt das bei uns laut Skript Danke dir vielmals! Also Grenzwerte kann ich nur anhand von Grenzwertsätzen (meist höchste Potenz raus usw,usf..) oder solchen "Tricks" bestimmen? Also kann man pauschal kein Mittel zu geben?
29.01.2013, 22:31	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nunja, du kannst auch direkt die Definition nachrechnen. Das geht dann so: Sei Epsilon > 0 beliebig. Du gibst ein n0 (meist in Abhängigkeit von Epsilon) an und zeigst, dass für alle n >= n0 der Abstand deiner Folge xn zum Grenzwert kleiner als Epsilon ist. Meist wird es aber auf die von dir erwähnten Tricks hinauslaufen. Und ein pauschales Prinzip kann man in der Mathematik selten angeben. Es gibt höchstens Problemklassen, die alle nach dem selben Schema ablaufen.

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