Normalverteilung (Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion)

27.01.2013, 20:28

kingdomlights12

Normalverteilung (Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion)

Halli Hallo ihr Lieben!

Ich hab mal wieder ein Mathematisches Problem, dass ich nicht lösen kann!

Und zwar geht es um die Normalverteilung – Wir haben damit in der letzten Stunde angefangen und ich verstehe nur Bahnhof!

Es gibt nun da ja diese Punkte, die man sozusagen abarbeiten kann, um so ein Beispiel zu lösen!

1.) f(x) $\begin{eqnarray*} ~\geq \end{eqnarray*}$ 0 für alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ~\mathbb R \end{eqnarray*}$

2.) f ist integrierbar

3.) Die Gesamtfläche unter f ist 1

4.) mit Limes; x geht gegen -unendlich und einmal x geht gegen +unendlich

Und bei Punkt 3 und 4 kann ich mir einfach keinen Reim draus bilden -.-'

Das Hauptproblem liegt aber bei Punkt Drei!
Mal angenommen ich rechne das aus, müsste ich doch f(x) in den Grenzen -/+ unendlich Integrieren – wenn danach 1 bei raus kommt, ist das ja dann meine Gesamtfläche, nicht? Nur wie soll ich denn mit unendlich an beiden Grenzen Integrieren?

Könnte mir da bitte jemand helfen?
f(x) wäre y = $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

Es geht grade' nur um Punkt Drei, und dass ich ganz einfach nicht verstehe, was ich machen soll, oder was er da von mir will! *Null Ahnung*

LG <3

27.01.2013, 20:39

Math1986

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RE: Normalverteilung (Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion)

Zitat:

Original von kingdomlights12
Es gibt nun da ja diese Punkte, die man sozusagen abarbeiten kann, um so ein Beispiel zu lösen!

1.) f(x) $\begin{eqnarray*} ~\geq \end{eqnarray*}$ 0 für alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ~\mathbb R \end{eqnarray*}$

2.) f ist integrierbar

3.) Die Gesamtfläche unter f ist 1

4.) mit Limes; x geht gegen -unendlich und einmal x geht gegen +unendlich

Und bei Punkt 3 und 4 kann ich mir einfach keinen Reim draus bilden -.-'

Das ist die Definition einer (stetigen) Dichtefunktion.

3) Sagt einfach nur, dass das integral unter der Funktion Null seien muss (genauso wie im diskreten Fall die Summe eben auch Eins seien muss). Wahrscheinlichkeiten können eben nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen, das ist so gesehen eben eine völlig natürliche Eingenschaft. Ein Beispiel für eine Dichtefunktion, die auf den ganzen reellen Zahlen definiert ist, ist eben die Normalverteilung, kannst dir ja mal auf Wikipedia ansehen wie sie aussieht.

Hattet ihr etwa keine uneigendlichen Integrale in der Schule behandelt?

4) Welchen Limes meinst du genau?

Zum Beispiel: In welchem Bereich ist f(x) denn definiert?

27.01.2013, 20:48

kingdomlights12

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RE: Normalverteilung (Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion)

Zitat:

Original von Math1986
In welchem Bereich ist f(x) denn definiert?

Ich schätze, damit ist das gemeint?

x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [0;2]

Meine Aufgabenstellung ist, dass ich 1. zeigen soll, dass f eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist, 2. den Erwartungswert berechnen soll, 3. die Standardabweichung berechnen soll und 4. die Wahrscheinlichkeit, mit der X in das Intervall [1;2] fällt.

Dann steht dort:

f: ( y=x/2 -> x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [0;2]

y=0 -> x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ [0;2] )

Wir haben in der Schule eben diese Punkte abgearbeitet - deswegen dachte ich, ich mach das so auch, aber ich versteh ab Punkt 3, einfach nur noch Bahnhof :o

27.01.2013, 21:00

Math1986

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RE: Normalverteilung (Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion)
Damit ist eben gemeint, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac x2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in [0,2] \end{eqnarray*}$ und sonst $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Die Fläche unter dem Graphen ist also genau die Fläche in [0,2]

Zu zeigen ist also:
$\begin{eqnarray*} 1=\int_{-\infty}^\infty f(x)d\,x = \int_0^2 \frac x2 d\,x \end{eqnarray*}$

Du kannst das auch zeichnerisch lösen, indem du dir den Graphen der Funktion anschaust:

Nun schau dir mal an, welche Fläche darunterliegt.

27.01.2013, 21:15

kingdomlights12

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Achso!
Das "unendlich" hat mich immer irritiert! - Jetzt ist alles klar!

Vielen Dank für deine Hilfe !

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