Untersuchung auf Konvexität & Definitheit

27.01.2013, 20:57

Säckel

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Untersuchung auf Konvexität & Definitheit

Guten Abend,

Wenn ich eine Funktion habe f:R3 mit f(x1,x2,x3)
kann ich dann sagen, dass wenn f''(x1), f''(x2) und f''(x3) größer als null
sind das f konvex ist?
Sprich: Ich bilde 3 partielle Ableitungen

f'(x1)= 6x1 - x2 + 2x3 - 9
f'(x2)= 1x1 - 4x2 + 5
f'(x3)=-2x1 + 2x3 - 4

f''(x1)= 6 - 1 + 2
f''(x2)= 1 - 4
f''(x3)=-2 + 2

f''(x1)= 7
f''(x2)= -3
f''(x3)=0

Was sagt mir die 2. Ableitung? Wären alle zweiten Ableitungen nun positiv, bedeutet dies wohl konvex und wenn alle 2. Ableitungen kleiner oder Null sind bedeutet dies konkav?
Ich habe hier aber negative und positive Werte vertreten.

Forme ich meine Funktion in eine Matrix um indem ich die erste partielle Ableitung nehme, erhalte ich Folgendes:

6 -1 2
-1 4 0
2 0 2

det1x1 = 6

det2x2= 23

det3x3= 30

Geben mir diese Ergebnisse der 3 Determinanten auch Aufschluss über Konvexität oder Konkavität oder nur über die Definitheit von f(x1,x2,x3)?

Vielen Dank für die Hilfe

28.01.2013, 20:27

Säckel

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RE: Untersuchung auf Konvexität & Definitheit
Ich habe einen Fehler rein gebracht.
Hier sind nun die richtigen Ableitungen. die Determinanten stimmen.

f'(x1)= 6x1 - x2 + 2x3 - 9
f'(x2)= -1x1 + 4x2 + 5
f'(x3)=-2x1 + 2x3 - 4

f''(x1)= 6 - 1 + 2
f''(x2)= -1 + 4
f''(x3)=-2 + 2

f''(x1)= 7
f''(x2)= 3
f''(x3)=0

31.01.2013, 11:39

Säckel

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RE: Untersuchung auf Konvexität & Definitheit
Hat denn niemand einen Schimmer?

31.01.2013, 11:53

RavenOnJ

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Du hast eine sehr unkonventionelle Schreibweise für deine partiellen Ableitungen und hast keine Lust, Latex zu benutzen. Deswegen hat vielleicht auch niemand Lust, sich mit deinem Problem zu beschäftigen.

01.02.2013, 09:36

Säckel

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über das Handy ist es gar nicht so einfach Latex zu verwenden.
hier nochmal:

Die Partiellen Ableitungen meiner Funktion sind:

Ich hoffe die Formeln mit Latex funktionieren.

[latexf'(x_{1})= 6x_{1}-x_{2}+2x_{3}[/latex]

[latexf'(x_{2})= -1x_{1}+4x_{2}+5[/latex]

[latexf'(x_{3})= 2x_{1}+2x_{3}-4[/latex]

[latexf''(x_{1})=7[/latex]

[latexf''(x_{2})=3[/latex]

[latexf''(x_{3})=0[/latex]

Determinanten aus der Matrix der ersten Ableitungen:

[latex\begin{vmatrix} 6 & -1 & 5 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} [/latex]

[latexDet(6)=6[/latex]

[latexDet\begin{vmatrix} 6 & -1 \\ -1 & 4 & b_3 \end{vmatrix}=23[/latex]

[latexDet\begin{vmatrix} 6 & -1 & 5 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix}=30[/latex]

Meine Frage war:

Geben mir die Determinanten Aufschluss über Konvexität und Konkavität oder nur die 2. Partielle Ableitung? Was geschieht wenn alle Determinanten großer oder kleiner als null sind?
Kann man auch sagen dass wenn die in der Mitte als einzige kleiner als null ist dass es dann konvex ist und wenn sie als einzige großer als null ist das die Funktion dann konkav ist? Und ich weiß leider auch nicht wie ich die Definitheit raus bekomme.

Hoffentlich kann mir jemand helfen.

Dankesehr Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2013, 10:21

Säckel

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kann jemand die fehlenden eckigen Schlussklammen bei [latex] editieren? dann sollte es gut aus sehen^^

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01.02.2013, 11:56

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Säckel
über das Handy ist es gar nicht so einfach Latex zu verwenden.
hier nochmal:

Die Partiellen Ableitungen meiner Funktion sind:

Ich hoffe die Formeln mit Latex funktionieren.

$\begin{eqnarray*} f'(x_{1})= 6x_{1}-x_{2}+2x_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x_{2})= -1x_{1}+4x_{2}+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x_{3})= 2x_{1}+2x_{3}-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x_{1})=7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x_{2})=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x_{3})=0 \end{eqnarray*}$

Determinanten aus der Matrix der ersten Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 6 & -1 & 5 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Det(6)=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Det\begin{vmatrix} 6 & -1 \\ -1 & 4 & b_3 \end{vmatrix}=23 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Det\begin{vmatrix} 6 & -1 & 5 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix}=30 \end{eqnarray*}$

Meine Frage war:

Geben mir die Determinanten Aufschluss über Konvexität und Konkavität oder nur die 2. Partielle Ableitung? Was geschieht wenn alle Determinanten großer oder kleiner als null sind?
Kann man auch sagen dass wenn die in der Mitte als einzige kleiner als null ist dass es dann konvex ist und wenn sie als einzige großer als null ist das die Funktion dann konkav ist? Und ich weiß leider auch nicht wie ich die Definitheit raus bekomme.

Hoffentlich kann mir jemand helfen.

Dankesehr Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Klammern ] habe ich ergänzt, mehr möchte ich da erst mal nicht tun. Weiterhin solltest du mal deine partiellen Ableitungen in der üblichen Form schreiben. So was muss man auch nicht am Handy machen, es gibt auch echte Computer.

Des weiteren: Wenn du deine Beiträge editieren möchtest, dann melde dich an. Mir geht das allmählich auf den S..., dass hier der Großteil der Fragesteller sich nicht anmeldet, glaubt, mal kurz was abgreifen zu können, wenn möglich ohne eigene Bemühungen (wozu auch eine saubere Latex-Codierung gehört), und dann wieder zu verschwinden.

01.02.2013, 12:41

Säckel

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RE: Untersuchung auf Konvexität & Definitheit
Ich bin schon länger hier angemeldet gewesen, nur kann man den Benutzernamen nicht wieder herausfinden wenn man sein Passwort und seine Mail Adresse hat. Zurzeit habe ich nicht die Möglichkeit einen Computer zu verwenden. Habe mir jetzt eine neue Email Adresse zugelegt um mich neu an zu melden. So.

$\begin{eqnarray*} x_{1}:f' = 6x_{1}-x_{2}+2x_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}:f'= -1x_{1}+4x_{2}+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3}:f'= 2x_{1}+2x_{3}-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}:f''=7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}:f'' =3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3}:f'' =0 \end{eqnarray*}$

Determinanten aus der Matrix der ersten Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Det(6)=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Det\begin{vmatrix} 6 & -1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix}=23 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Det\begin{vmatrix} 6 & -1 & 5 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix}=30 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das ist nun alles konventionell genug!

01.02.2013, 14:25

RavenOnJ

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Es geht nicht darum, dass der Aufschrieb "konventionell" ist, sondern um die leichtere Lesbarkeit. Die Mathematik ist schon schwierig genug, da muss man nicht noch weitere Knüppel zwischen die Beine geworfen bekommen durch eine unkonventionelle Notation. Wir haben schließlich auch noch anderes zu tun als hier irgendwelche Privatnotationen zu entziffern. Außerdem ist es gut, wenn man sich frühzeitig an die übliche Schreibweise gewöhnt.

Partielle Ableitungen schreibt man beispielsweise für die partielle Ableitung nach $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1} \end{eqnarray*}$

Da muss man natürlich viel länger schreiben als bei x_1: f' , aber das muss man halt auf sich nehmen.

Außerdem ist $\begin{align*} |..| \end{align*}$ mit den senkrechten Strichen bereits die Notation für die Determinante, das Det ist unnötig. Die Matrix selber wird mit runden () oder eckigen [] Klammern geschrieben.

01.02.2013, 14:54

RavenOnJ

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zur deiner Frage: Es reicht nicht, nur die zweiten partiellen Ableitungen zu betrachten um daraus die Frage nach Konvexität von f zu beantworten. Es gibt Funktionen, deren zweite partielle Ableitungen nach jeder Koordinate positiv sind, die aber trotzdem nicht konvex sind, weil sie an der Stelle einen Sattelpunkt haben. Man muss die Hesse-Matrix von f betrachten und diese auf Definitheit prüfen:

Hesse(f) positiv (negativ) semidefinit $\begin{align*} \Leftrightarrow \end{align*}$ f konvex (konkav).

Ist die Hesse(f) positiv (negativ) definit, dann ist die Funktion f sogar streng konvex (konkav).

01.02.2013, 15:04

Säckel

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RE: Untersuchung auf Konvexität & Definitheit
$\begin{eqnarray*} \frac{af}{ax_{1}} = 6x_{1}-x_{2}+2x_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{af}{ax_{2}} = -1x_{1}+4x_{2}+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{af}{ax_{3}} = 2x_{1}+2x_{3}-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{af'}{ax_{1}} =7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{af'}{ax_{2}} =3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{af'}{ax_{3}} =0 \end{eqnarray*}$

Determinanten aus der Matrix der ersten Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} =6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 6 & -1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix}=23 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix}=30 \end{eqnarray*}$

01.02.2013, 15:08

RavenOnJ

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1.) Es heißt nicht $\begin{align*} a \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} \partial \end{align*}$ , was \partial codiert wird.

2.) Du hast bisher mit keinem Wort erwähnt, wie dein $\begin{align*} f \end{align*}$ aussieht.

3.) Was soll das bedeuten?
$\begin{eqnarray*} \frac{af'}{ax_{2}} =3 \end{eqnarray*}$

01.02.2013, 15:19

Säckel

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ich habe das zeichen nicht gefunden und durch a ersetzt.

2. Ableitung soll das sein.

Hat die Hesse Matrix nur den Wert der 3x3 Determinante, oder müssen entweder alle determinanten positiv (negativ) sein?

01.02.2013, 15:19

RavenOnJ

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Falls dir die Notation für die zweiten partiellen Ableitungen unbekannt sind: Die zweite partielle Ableitung nach $\begin{align*} x \end{align*}$ schreibt man

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \end{eqnarray*}$

Die gemischte zweite Ableitung nach $\begin{align*} x \end{align*}$ und dann nach $\begin{align*} y \end{align*}$ wird geschrieben

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial y \;\partial x} \end{eqnarray*}$

oft auch abgekürzt durch

$\begin{eqnarray*} \partial_{yx} f \end{eqnarray*}$

01.02.2013, 16:33

Säckel

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dann ist meine Funktion f , welche ich nicht mehr als Beispiel nennen kann da ich sie nicht weiß, ja streng konvex da alle drei Determinaten größer als null sind.. ist das richtig?

Ist die Definitheit hier positiv, da alle 3 Determinanten positiv sind?

Was geschähe wenn nur die erste oder die letzte negativ wäre?

Danke für die schnellen Antworten.

01.02.2013, 16:45

RavenOnJ

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Ich sehe da keine Hesse-Matrix nur eine Jacobi-Matrix, das heißt die einzeilige Matrix der ersten partiellen Ableitungen deiner Funktion $\begin{align*} f:\mathbb{R}^3\to \mathbb R \end{align*}$ . Die kannst du aber nicht dazu verwenden, Konvexität zu zeigen. Warum kennst du $\begin{align*} f \end{align*}$ nicht mehr?? Ist aber auch egal, da du aus den Einträgen der Jacobi- die Hesse-Matrix konstruieren kannst, indem du sie nochmal partiell ableitest.

01.02.2013, 16:54

Säckel

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wieso einspaltig? ich habe doch 3 Matrizen.. eine 1x1, eine 2x2 und eine 3x3
zumindest zwei davon haben mehr als eine Spalte.

Und welche der drei Matrizen ist dann die Jacobi Matrix und wie leite ich diese ab?

Danke

01.02.2013, 16:59

Säckel

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Ich dachte die Hesse Matrix wird aus meiner 3x3 Matrix und den x-losen Einzelwerten (mit Vorzeichenwechsel) meiner 1. partiellen Ableitung gebildet, welche erst in die Erste dann in die Zweite und schließlich in die Dritte Spalte eingesetzt werden um den Punkt für das Minimum oder Maximum zu bestimmen. Doch dazu muss ich doch zuerst wissen ob meine Funktion nun konvex oder konkav ist auf ganz R3.

01.02.2013, 17:38

Säckel

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und noch eine Frage: was passiert wenn die Funktion indefinit ist
(Habe gerade herausgefunden dass dies der Fall ist, wenn positive und negative Eigenwerte der Matrix vorhanden sind)?
Semidefinit (weder pos noch neg) ist sie dann, wenn ein EW null ergibt und die beiden anderen Eigenwerte positiv und negativ sind?

02.02.2013, 10:44

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Säckel
Ich dachte die Hesse Matrix wird aus meiner 3x3 Matrix und den x-losen Einzelwerten (mit Vorzeichenwechsel) meiner 1. partiellen Ableitung gebildet, welche erst in die Erste dann in die Zweite und schließlich in die Dritte Spalte eingesetzt werden um den Punkt für das Minimum oder Maximum zu bestimmen. Doch dazu muss ich doch zuerst wissen ob meine Funktion nun konvex oder konkav ist auf ganz R3.

Wie du das schreibst, zeigt es mir, dass du irgendwie nach einem Schema F vorgehst, ohne das Ganze wirklich verstanden zu haben. Dies führt dann dazu, dass du irgendwann ein scheinbar(!) ähnliches Problem vorgesetzt bekommst, wieder dein Schema anwendest und dich wunderst, warum es nicht funktioniert.

Dein Verfahren ist anscheinend: Du bildest die Jacobi-Matrix aus den ersten Ableitungen von f, dann nimmst du die Koeffizientenmatrix dieser dann entstandenen (hier zu deinem Glück) linearen Abbildung und analysierst diese via Bildung der Hauptminoren. Die sind alle >0, woraus du dann die Konvexität folgerst.

In deinem speziellen Fall funktioniert das sogar, weil du das Glück(!) hast, dass dein f anscheinend ein quadratisches Polynom ist. Denn nur dann kommt man in der eben beschriebenen Weise auf die Hesse-Matrix von f und diese hat dann (und nur dann) konstante Koeffizienten. Für allgemeine Funktionen funktioniert dieses Verfahren nicht!

Zitat:

und noch eine Frage: was passiert wenn die Funktion indefinit ist
(Habe gerade herausgefunden dass dies der Fall ist, wenn positive und negative Eigenwerte der Matrix vorhanden sind)?
Semidefinit (weder pos noch neg) ist sie dann, wenn ein EW null ergibt und die beiden anderen Eigenwerte positiv und negativ sind?

Was meinst du damit "was passiert"? In Bezug auf die Frage der Konvexität? Ich hatte ja schon weiter oben beschrieben, was äquvalent zur (strengen) Konvexität/Konkavität für die Hesse-Matrix gilt. Lies das nochmal durch. Bei Indefinitheit ist die Funktion f weder konvex noch konkav. Dabei zu bedenken ist die Tatsache, dass man bei allgemeinen Funktionen auch die lokale Konvexität/Konkavität untersuchen kann, was dann z.B. zu der Frage passt, ob ein lokales Minimum oder Maximum vorhanden sein könnte.

02.02.2013, 15:43

Säckel

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Danke für deine Antworten!

Ich wusste nicht dass es mehr als eine Möglichkeit gibt auf Konvexität etc. zu schließen.

Ich brauche einen Rechenweg der Funktioniert für die Uni. In den letzen 10 Mathe Klausuren sind immer Funktionen drann gekommen, welche Quadrate beinhalten.
(Sind sie damit ein ''quadratisches Polynom''?)

Wenn auf diese Art von Funktionen das Verfahren, welches ich angewendet habe funktioniert, dann ist mein Problem quasi gelöst.

ich Frage mich aber noch wie ich von dem zum Schluss zu berechnenden Extrempunkt durch 'Cramer' auf einen lokales oder globales Maximum schließen kann.
Handelt es sich bei dem Lösungsvektor, den man durch dieses Verfahren bekommt immer um ein Maximum, wenn die Funktion Konvex ist? oder ist es immer dann ein Maximum, wenn die Funktion positiv definit ist?

Zusätzlich stellt sich mir die Frage, wie man mithilfe des selben Verfahrens zwischen lokalem und globalem Extremum unterscheiden kann.

Ich danke nochmal für die Antworten und die Hilfe!!!

02.02.2013, 20:16

RavenOnJ

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"quadratisches Polynom" bedeutet, dass der Grad des Polynoms 2 ist bzw. das höchstens Produkte vom maximalen Grad 2 in dem Polynom vorkommen, z.B. $\begin{align*} x^2,y^2,z^2,xy, xz,yz \end{align*}$ aber auch $\begin{align*} x,y,z \end{align*}$ oder Konstanten. Genau dann sind nämlich die 2. partiellen Ableitungen konstant. Im allgemeineren Fall ist die Hesse-Matrix vom Ort abhängig, also nicht konstant. Wenn sie konstant ist, dann ist die Konvexität (Konkavität) global, nicht nur lokal. Wenn sie allerdings eine Funktion des Ortes ist, dann lässt sich über globale Konvexität (Konkavität) i.d.R. nichts sagen, höchstens über lokale.

Wenn die Hesse-Matrix konvex (konkav) ist, dann kann es in dem betrachteten Gebiet, in dem sie überall diese Eigenschaft hat, ein Minimum (Maximum) geben, also gerade andersrum wie du geschrieben hast. Das ist analog zur 2. Ableitung im 1-dimensionalen Fall (die Hesse-Matrix einer Funktion $\begin{align*} f:\mathbb R \to \mathbb R \end{align*}$ ist gerade die 2. Ableitung!) (s. auch hier)

04.02.2013, 14:45

Säckel

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Entschuldige die späte Antwort, ich musste arbeiten am Wochenende!

Ich habe weitgehend verstanden wie ich das Problem angehe, doch wenn ich übe
wiederspricht sich manches, oder ich habe einen Rechenfehler.

Gegeben sei die Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x_{1} x_{2} x_{3})= -2x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-3x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+8x_{1}-2x_{2}+6x_{3} \end{eqnarray*}$

Die partiellen Ableitungen sind demnach hoffentlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1} = -4x_{1} +2x_{2}+8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_2}= 2x_{1}+2x_{2}-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_3}= -6x_{3}+6 \end{eqnarray*}$

und die Determinanten dazu:

det $\begin{eqnarray*} (-4)= -4 \end{eqnarray*}$

det $\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} -4 & 2 & \\ 2 & -2 \end{pmatrix}=4 \end{eqnarray*}$

det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix} =-24 \end{eqnarray*}$

Da ich nun negative und einen positiven Eigenwert habe ist die Funktion f indefinit!
und damit weder konvex noch konkav richtig?

Die Funktion ist aber leider auf dem gesamten Definitionsbereich konkav!
Wo ist hier mein Fehler?

Danke

04.02.2013, 16:02

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Säckel
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1} = -4x_{1} +2x_{2}+8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_2}= 2x_{1}{\color{red}-}2x_{2}-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_3}= -6x_{3}+6 \end{eqnarray*}$

bis auf diese Korrektur richtig.

Zitat:

und die Determinanten dazu:

man sagt "Hauptminoren".

Zitat:

det $\begin{eqnarray*} (-4)= -4 \end{eqnarray*}$

det $\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} -4 & 2 & \\ 2 & -2 \end{pmatrix}=4 \end{eqnarray*}$

det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix} =-24 \end{eqnarray*}$

Da ich nun negative und einen positiven Eigenwert habe ist die Funktion f indefinit!
und damit weder konvex noch konkav richtig?

unglücklich

Wo sind hier Eigenwerte?? Dies sind nur die Hauptminoren der Hesse-Matrix. Die Eigenwerte bekommst du über die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Zitat:

Die Funktion ist aber leider auf dem gesamten Definitionsbereich konkav!

Das ist sie allerdings, sogar streng konkav. Man kann dies folgendermaßen sehen: Bisher hatten wir gesehen, dass eine Funktion genau dann streng konvex ist, wenn die Hauptminoren alle positiv sind. Eine Funktion f ist streng konkav, wenn die negative Funktion -f streng konvex ist. Die Hauptminoren der negativen Hesse-Matrix (d.h. der Hesse-M. von -f) müssen also alle positiv sein. Also:

$\begin{eqnarray*} -h_{11} > 0 \Rightarrow h_{11} < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Biggl|-\begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{pmatrix}\Biggr| > 0\Rightarrow \begin{vmatrix} h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} \end{vmatrix} > 0\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Biggl|-\begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13}<br /> h_{21} & h_{22} & h_{23}<br /> h_{31} & h_{32} & h_{33}\end{pmatrix}\Biggr| > 0\Rightarrow \begin{vmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13}\\ h_{21} & h_{22} & h_{23}\\ h_{31} & h_{32} & h_{33}\end{vmatrix} < 0 \end{eqnarray*}$

Die Hauptminoren müssen also alternierend <0 und >0 werden, damit die Funktion f streng konkav ist. Genau das ist hier der Fall, also ist die Funktion konkav.

04.02.2013, 16:17

Säckel

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Ok, verstehe..

kann man das für die Konkavität auch umgekehrt auch sagen?
Also dass wenn die Hauptminoren anders herum alternierend werden
(also: >0 ,<0, >0), dass die Funktion immer noch streng konkav ist?
Oder wird sie dann wieder konvex?

Ist meine Funktion, welche ja streng konkav ist, demnach auch negativ definit?

04.02.2013, 16:58

Säckel

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RE: Untersuchung auf Konvexität & Definitheit
Ich habe zusätzlich noch die Extremstelle von f berechnet und versucht zu begründen wieso es sich um das globale Maximum von f handelt!
Ich hoffe meine Rechnung stimmt.

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A_{1} =\begin{pmatrix} -8 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ -6& 0 & -6 \end{pmatrix} = -72 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A_{1} =\begin{pmatrix} -4 & -8 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & -6 & -6 \end{pmatrix} = -48 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A_{1} =\begin{pmatrix} -4 & 2 & -8 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix} = -24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}^{0} =\frac{| A_{1} | }{| A| } = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}^{0} =\frac{| A_{2} | }{| A| } = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3}^{0} =\frac{| A_{3} | }{| A| } = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{0}= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ist das globale Minimum von f, da f streng konkav auf
ganz R3 ist!

Ich hoffe ich habe alles richtig gemacht.
Wäre nett wenn du mal drüber schaust =)

04.02.2013, 17:08

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Säckel

kann man das für die Konkavität auch umgekehrt auch sagen?
Also dass wenn die Hauptminoren anders herum alternierend werden
(also: >0 ,<0, >0), dass die Funktion immer noch streng konkav ist?
Oder wird sie dann wieder konvex?

Anhand meiner obigen Erläuterungen müsstest du dir das eigentlich selber beantworten können. Aus $\begin{align*} h_{11} >0 \end{align*}$ folgt schon, dass die Funktion höchstens noch konvex sein, auf alle Fälle nicht konkav. Wenn nun der 2. Hauptminor negativ ist, dann fällt damit die Möglichkeit der Konvexität ebenfalls flach, die Hesse-Matrix ist also indefinit, die Funktion weder konvex noch konkav.

Zitat:

Ist meine Funktion, welche ja streng konkav ist, demnach auch negativ definit?

Von negativ oder positiv definiten Funktionen war hier überhaupt nicht die Rede.

04.02.2013, 17:20

RavenOnJ

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RE: Untersuchung auf Konvexität & Definitheit

Zitat:

Original von Säckel
Ich habe zusätzlich noch die Extremstelle von f berechnet und versucht zu begründen wieso es sich um das globale Maximum von f handelt!
Ich hoffe meine Rechnung stimmt.

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A_{1} =\begin{pmatrix} -8 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ -6& 0 & -6 \end{pmatrix} = -72 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A_{1} =\begin{pmatrix} -4 & -8 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & -6 & -6 \end{pmatrix} = -48 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A_{1} =\begin{pmatrix} -4 & 2 & -8 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix} = -24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}^{0} =\frac{| A_{1} | }{| A| } = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}^{0} =\frac{| A_{2} | }{| A| } = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3}^{0} =\frac{| A_{3} | }{| A| } = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{0}= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ {\color{red}1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ist das globale Maximum von f, da f streng konkav auf
ganz R3 ist!

Da sind so viele Ungenauigkeiten (wie z.B. die korrigierten) und obskuren Schreibweisen versammelt, das möchte ich gar nicht alles kommentieren. Wenn die Funktion streng konkav ist, dann hat sie möglicherweise ein globales Maximum. Mache dir aber klar, dass die Tatsache der Konkavität (Konvexität) nicht zwingend zur Folge hat, dass ein solches globales Maximum (Minimum) existiert! Denke beispielsweise an die streng konkave Funktion y = ln(x), die kein Maximum und noch nicht mal ein Supremum besitzt.

04.02.2013, 17:24

Säckel

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Okay, ich verstehe es langsam..

Ich dachte nur die Definitheit ist an die Konvexität, Konkavität gekoppelt.

Ich habe mir nun mal alle Möglichkeiten für Ergebnisse der Hauptminoren
zusammen geschrieben und hoffe ich kann sie so abheften:

Für die Werte der Hauptminoren vom kleinsten (1x1) bis zum größten (3x3)
gilt für die Folgenden Reihenfolgen:

$\begin{eqnarray*} >0, >0 >0 : \end{eqnarray*}$ streng konvex und positiv definit

$\begin{eqnarray*} \geq 0,\geq 0,\geq 0 : \end{eqnarray*}$ konvex und positiv definit

$\begin{eqnarray*} <0,<0,<0: \end{eqnarray*}$ streng konkav und negativ definit

$\begin{eqnarray*} \leq 0,\leq 0,\leq 0: \end{eqnarray*}$ konkav und negativ definit

$\begin{eqnarray*} <0, >0, >0: \end{eqnarray*}$ streng konkav und negativ definit

$\begin{eqnarray*} >0, <0, >0: \end{eqnarray*}$ weder konvex noch konkav und indefinit

darf ich mir das also so merken?

04.02.2013, 17:31

Säckel

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Oh je, stimmt...

Ich bin ein wenig unkonzentriert.

Natürlich meinte ich die 1 und das Maximum!

04.02.2013, 17:53

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Säckel
Ich dachte nur die Definitheit ist an die Konvexität, Konkavität gekoppelt.

Wenn du damit die Definitheit der Hesse-Matrix gemeint hättest, dann wäre das auch so.

Zitat:

Für die Werte der Hauptminoren der Hesse-Matrix vom kleinsten (1x1) bis zum größten (3x3)
gilt für die Folgenden Reihenfolgen:

$\begin{eqnarray*} >0, >0 >0 : \end{eqnarray*}$ Funktion streng konvex und Hesse-Matrix positiv definit

$\begin{eqnarray*} \geq 0,\geq 0,\geq 0 : \end{eqnarray*}$ konvex und positiv semidefinit

$\begin{eqnarray*} <0,{\color{red}>}0,<0: \end{eqnarray*}$ streng konkav und negativ definit

$\begin{eqnarray*} \leq 0,{\color{red}\geq} 0,\leq 0: \end{eqnarray*}$ konkav und negativ semidefinit

alle anderen Fälle: weder konvex noch konkav und indefinit

darf ich mir das also so merken?

ja, allerdings mit dem korrigierten .

04.02.2013, 18:00

Säckel

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Sehr gut! Dann habe ich jetzt ein nicht mehr ganz so kleines Regelwerk bei mir.
Da die Prüfung schon in 2 Wochen ist heißt es jetzt üben üben und üben.

Wenn ich noch eine Frage habe schreibe ich dir nochmal, aber ich denke jetzt sind keine Unklarheiten mehr da.

Danke für die Zeit und die Antworten!

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