Potenzreihe auf zwei Arten

27.01.2013, 21:54

Verwirrter0815

Potenzreihe auf zwei Arten

Guten Tag,
meine Aufgabe ist es die Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} (e^{-x})^2 \end{eqnarray*}$ auf zwei Arten anzugeben und zu zeigen dass die Ergebnisse identisch sind.
Ich habe dies nun versucht und bin mir leider noch sehr unsicher und es wäre daher sehr nett wenn jemand einen Blick darauf wirft.

$\begin{eqnarray*} (e^{-x})^2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} e^{-2x} \end{eqnarray*}$ mittels Substitution

Subst.: $\begin{eqnarray*} z=-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^z = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Rücksubst.:
$\begin{eqnarray*} e^{-2x} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-2x)^k}{k!} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-2)^k \cdot x^k}{k!} = \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \cdot \frac{2^k}{k!} \cdot x^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (e^{-x})^2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} (e^{-x}) \cdot (e^{-x}) \end{eqnarray*}$ als Produktreihe

$\begin{eqnarray*} (e^{-x}) = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{k!} = \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \cdot \frac{x^k}{k!} = \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \cdot \frac{1}{k!} \cdot x^k \end{eqnarray*}$

Produktreihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (\sum\limits_{n=1}^k (-1)^n \cdot \frac{1}{n!} \cdot (-1)^{k-n} \cdot \frac{1}{(k-n)!} \cdot x^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^\infty (\sum\limits_{n=1}^k (-1)^k \cdot \frac{1}{n!} \cdot \frac{1}{(k-n)!} \cdot x^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} \cdot (\sum\limits_{n=1}^k (-1)^k \cdot \frac{k!}{n!(k-n)!}) \cdot x^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \cdot \frac{1}{k!} \cdot (\sum\limits_{n=1}^k \frac{k!}{n!(k-n)!}) \cdot x^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \cdot \frac{1}{k!} \cdot (\sum\limits_{n=1}^k \begin{pmatrix} k \\ n \end{pmatrix} ) \cdot x^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \cdot \frac{2^k}{k!} \cdot x^k \end{eqnarray*}$

verwirrt

Reicht das so?

28.01.2013, 07:15

Leopold

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Ja, das reicht so. Nur noch eine Kleinigkeit: Überprüfe die Startindizes und die ein oder andere Klammer.

28.01.2013, 09:09

Verwirrter0815

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Vielen Dank!
Oh, ja die Indizes müssten natürlich alle 0 sein.
Kleiner Fehler durch Copy & Paste. Augenzwinkern

Bei den Klammern seh ich aber keine Fehler...

28.01.2013, 09:37

Mystic

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RE: Potenzreihe auf zwei Arten

Zitat:

Original von Verwirrter0815
Produktreihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (\sum\limits_{n=1}^k (-1)^n \cdot \frac{1}{n!} \cdot (-1)^{k-n} \cdot \frac{1}{(k-n)!} \cdot x^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^\infty (\sum\limits_{n=1}^k (-1)^k \cdot \frac{1}{n!} \cdot \frac{1}{(k-n)!} \cdot x^k \end{eqnarray*}$

Hier sehe ich jeweils eine öffnende Klammer, aber nicht ihre Pendant... Lehrer

28.01.2013, 09:44

Verwirrter0815

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Ups

Auf dem Blatt stimmt alles.
Danke euch!

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Potenzreihe auf zwei Arten

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