matrizen potenzieren

16.02.2007, 19:28

rakize

matrizen potenzieren

Es gibt doch ne einfache Form Matrizen zu potenzieren mit den Eigenwerten

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und daraus folgt $\begin{eqnarray*} A^{6} = \begin{pmatrix} 4096 & 0 & -819 \\ 0 & 4096 & 4095 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigenwerte sind
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_3 = -1 \end{eqnarray*}$

nun meine Frage a3 und b3 kann ich nicht berechnen, die diagonale sind die Eigenwerte hoch 6, und nullen bleiben so, also wie berechnet man a3, b3

danke für die antwort

EDIT: nimm doch die pmatrix. Sieht sonst immer so nach Determinante aus...

17.02.2007, 08:36

rakize

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RE: matrizen potenzieren
bitte um hilfe,
es muss doch eine einfache lösung geben,
wie man a3 und b3 schnell berechnet,
also als ergebins kommt für a3= -817 und für b3= 4095 heraus

17.02.2007, 21:35

Mazze

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Also erst einmal würde ich gerne wissen was Du mit a3 und b3 meinst. Du schreibst es da einfach hin und es gibt überhaupt keinen Bezug zu dem was Deine Frage ist. Hier im übrigen eine allgemeine Methode für diagonalisierbare Matrizen:

Sei A eine diagonalisierbare Matrix, dann existiert eine Matrix P so das

$\begin{eqnarray*} A = PDP^{-1} \end{eqnarray*}$

Dabei ist D eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen (das was Du hast). Man kann nun sehr leicht zeigen das dann gilt:

$\begin{eqnarray*} A^n = PD^nP^{-1} \end{eqnarray*}$ und speziell

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0\\ 0 & \lambda_2 & ... & 0\\ ... & ... & ... & ...\\0 & 0 & ... & \lambda_n \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 & ... & 0\\ 0 & \lambda_2^n & ... & 0\\ ... & ... & ... & ...\\0 & 0 & ... & \lambda_n^n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit lässt sich das alles sehr schön berechnen, man muss lediglich die Matrix P aus den Eigenvektoren berechnen und dann invertieren. Im übrigen gibs für Dein Beispiel einen besseren weg:

$\begin{eqnarray*} A^6 = (A^3)^2 = (AA^2)^2 \end{eqnarray*}$

Du musst also lediglich 4 Matrixmultiplikationen durchführen.

17.02.2007, 21:57

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} A²= \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zunächst einmal müssen wir die Bedingungen klären. Solles eine "Diagonalmatrix, bis auf die letzte Spalte sein?

Zitat:

es muss doch eine einfache lösung geben

Ohne dass Du genau angibst, was die Bedingungen sind. Ja, die ganz normale Matrizenmultiplikation Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (a_{13})^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -1\end{pmatrix} = \lambda_1 (-1) + (-1)\lambda_3 \end{eqnarray*}$

18.02.2007, 10:48

rakize

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sorryy nochmals, wo ich probleme hatte, war a13 und b13, also wie man am einfachsten zur lösung -819, 4095

denn gefagt war, sehr einfach und schnell $\begin{eqnarray*} A^{6} \end{eqnarray*}$ herauszubekommen

18.02.2007, 11:50

Leopold

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Man könnte es auch so machen, daß man zunächst das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bestimmt. Das ist

$\begin{eqnarray*} \psi(x) = (x-4)(x+1) = x^2 - 3x - 4 \end{eqnarray*}$

Mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ kann man den Grad erniedrigen. Polynomdivision durch $\begin{eqnarray*} \psi(x) \end{eqnarray*}$ liefert nämlich

$\begin{eqnarray*} x^6 = \psi(x) \cdot \left( x^4 + 3x^3 +13x^2 + 51x + 205 \right) + \left( 819x + 820 \right) \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \psi(A) = 0 \end{eqnarray*}$ heißt das (mit $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ als Einheitsmatrix)

$\begin{eqnarray*} A^6 = 819A + 820E \end{eqnarray*}$

Ob diese Rechnung letztlich einfacher ist als die anderen vorgeschlagenen Möglichkeiten, muß jeder selbst beurteilen. Man hat nur noch eine Matrizenmultiplikation (nämlich die zur Bestimmung des Minimalpolynoms), dafür hat man eine längere Polynomdivision auszuführen.

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