Ordnung der Null- und Polstellen einer Funktion

28.01.2013, 12:06

Stefan03

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Ordnung der Null- und Polstellen einer Funktion

Hi,
ich habe hier eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{z^2(z-4)}{sin(\pi z)} \end{eqnarray*}$ und ich soll die Null- bzw. Polstellenordnung bestimmen.
Wie gehe ich hier am besten vor?

Ich weiß, dass die Nullstellenordnung von $\begin{eqnarray*} \sin \pi z \end{eqnarray*}$ gleich 1 ist für alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$
Da eine einfache Nullstelle des Zähler bei z=4 und eine doppelte Nullstelle bei z=0 vorliegt und f in einer Umgebung von 0 bzw. von 4 beschränkt bleibt, kann man f bei 0 bzw. bei 4 wegen dem Riemann'schen Hebbarkeitssatz fortsetzen.
Vom Gefühl her ist dann z=0 eine doppelte NS und z=4 eine einfache NS und alle anderen isolierten Singularitäten, d.h. $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z}\backslash\{0,4\} \end{eqnarray*}$ Pole 1. Ordnung.

Im nächsten Teil soll ich dann $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\gamma}f(z)dz \end{eqnarray*}$ berechnen, wobei $\begin{eqnarray*} \gamma: [0;2\pi], \gamma(t)=1,5+e^{it} \end{eqnarray*}$ ist.

Ich dachte sofort an die Cauchy-Integral-Formel, aber irgendwie komme ich hier nicht weiter. Ebenso scheint mit der Residuensatz ungeeignet, weil ich die Residuen schlecht berechnen kann. Im Inneren des Kreisen würden die Residuen z=1 und z=2 liegen...

28.01.2013, 12:19

RavenOnJ

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RE: Ordnung der Null- und Polstellen einer Funktion

Zitat:

Original von Stefan03

Vom Gefühl her ist dann z=0 eine doppelte NS ...

Du meinst wohl bei z=0 ist eine einfache NSt von f(z).

28.01.2013, 12:24

RavenOnJ

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Das Integrationsgebiet ist ein um 1,5 verschobener Einheitskreis, $\begin{align*} \pi \end{align*}$ liegt nicht innerhalb dieses Kreises.

28.01.2013, 12:26

Stefan03

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Das Integrationsgebiet ist ein um 1,5 verschobener Einheitskreis, $\begin{align*} \pi \end{align*}$ liegt nicht innerhalb dieses Kreises.

Ja stimmt...Ich hab das Multiplizieren mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ vergessen...

Und bei der Aufgabe a): Stimmen da meine Aussagen bis auf, dass 0 eine einfache NS ist?

28.01.2013, 12:30

RavenOnJ

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RE: Ordnung der Null- und Polstellen einer Funktion

Zitat:

Original von Stefan03

Vom Gefühl her ist dann z=0 eine doppelte NS und z=4 eine einfache NS und alle anderen isolierten Singularitäten, d.h. $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z}\backslash\{0,4\} \end{eqnarray*}$ Pole 1. Ordnung.

Bei z=4 ist gar keine NSt, bzw. die Definitionslücke ist hebbar und f(4) = 1. Das mit den Polen geht in Ordnung.

Edit: f(4) = 16

28.01.2013, 12:51

Stefan03

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Hi,
ähm, und wie komme ich darauf ,dass f(4)=1 ist? Dass sie hebbar ist, ist mir klar, aber warum dann f(4)=1?

Wenn ich den "komplexen" l'Hospital anwende, komme ich auf $\begin{eqnarray*} f(4)=\frac{16}{\pi} \end{eqnarray*}$

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28.01.2013, 12:52

Stefan03

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sry...Doppelpost

28.01.2013, 13:17

RavenOnJ

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wenn ich den Sinus in eine Potenzreihe entwickle, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \sin(z) = z-\frac{z^3}{3!}\cdots = z(1-\frac{z^2}{3!}+\cdots) \end{eqnarray*}$

analog für sin(z-4). Deswegen f(4) = 16.

Edit: Hatte das z^2 vergessen, also f(4) = 16, sorry.

28.01.2013, 13:19

Che Netzer

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Zitat:

Original von Stefan03
Wenn ich den "komplexen" l'Hospital anwende, komme ich auf $\begin{eqnarray*} f(4)=\frac{16}{\pi} \end{eqnarray*}$

Keine Sorge, so stimmt es auch.

28.01.2013, 13:42

Stefan03

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Hi,

ähm, ok smile

smile

Aber warum sind 16/pi das gleiche wie 16?!?

Und zu b)

Dann sollte das Wegintegral gleich 0 sein wegen Cauchy-Integral Satz. Wie du gesagt hast, ist es ein Einheitskreis um 1,5 LE nach rechts verschoben. Innerhalb dieses Kreises liegen keine Singularitäten, also ist der Weg nullhomolog --> Wegintegral =0.

Soweit richtig?

Oder Argument über Cauchy-Integral-Formel: Umlaufzahlen der Singularitäten sind 0 --> Wegintergal 0

28.01.2013, 14:13

Che Netzer

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Das ist nicht dasselbe, $\begin{eqnarray*} f(4)=16 \end{eqnarray*}$ ist falsch.

Und wieso werden von dieser Kurve plötzlich keine Singularitäten mehr umlaufen?

28.01.2013, 14:16

RavenOnJ

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@Che

Zitat:

Original von Stefan03
Aber warum sind 16/pi das gleiche wie 16?!?

das würde mich aber jetzt auch mal interessieren. Kommst du auch auf f(4) = 16/pi? Wenn ja, warum?

Zitat:

Und zu b)

Dann sollte das Wegintegral gleich 0 sein wegen Cauchy-Integral Satz. Wie du gesagt hast, ist es ein Einheitskreis um 1,5 LE nach rechts verschoben. Innerhalb dieses Kreises liegen keine Singularitäten, also ist der Weg nullhomolog --> Wegintegral =0.

Soweit richtig?

Oder Argument über Cauchy-Integral-Formel: Umlaufzahlen der Singularitäten sind 0 --> Wegintergal 0

Wegintegral = 0 wegen Cauchy-Integral-Satz, da innerhalb des Kreises keine Pole liegen.

Edit: Damit ist das natürlich hinfällig, da bei z=1, z=2 noch Pole liegen.

28.01.2013, 14:19

Che Netzer

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$\begin{eqnarray*} \frac{z-4}{\sin(\pi z)}=\frac1\pi\frac{\pi z-4\pi}{\sin(\pi z-4\pi)}\to\frac1\pi\,. \end{eqnarray*}$

Und innerhalb des Kreises liegen doch zwei Polstellen...

28.01.2013, 14:21

RavenOnJ

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Hammer

, klar, da steht ja $\begin{align*} \pi z \end{align*}$ also potentielle Pole bei 1,2,3,.... Hatte das im Eifer des Gefechts wieder vergessen. War die ganze Zeit in Gedanken bei sin(z), obwohl ich vorher mit sin(\pi z) argumentiert hatte. shit happens ...

28.01.2013, 14:59

Stefan03

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Ach ärgerlich,

z=1 liegt schon innerhalb des Kreises, aber $\begin{eqnarray*} \pi \cdot 1 \end{eqnarray*}$ nicht, aber das ist auch völlig egal smile

smile

Ok, dann muss ich die Res von z=1 und z=2 berechnen. Aber wie mache ich das am besten? Die Formel mit den Polstellen 1. Ordung funktioniert ja nicht so, weil ich von $\begin{eqnarray*} \sin(\pi z) \end{eqnarray*}$ ja keine Nullstelle "ausklammern" und anschließend z.B. mit $\begin{eqnarray*} (z-1) \end{eqnarray*}$ kürzen kann.

28.01.2013, 15:03

Che Netzer

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Hier gibt es eine nützliche Formel:
http://de.wikipedia.org/wiki/Residuum_%2...sche_Berechnung
Die hattet ihr hoffentlich auch schon.

01.02.2013, 12:03

Stefan03

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Hi,

danke, habs hinbekommen smile

smile

Die Formel mit der einfachen NS im Nenner war mir neu, aber ich werde sie mir wohl merken smile

smile

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