Konvergenz für Reihe mit Variable

28.01.2013, 13:37

NeoKortex

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Konvergenz für Reihe mit Variable

Hallo Leute, ich soll bei dieser Aufgabe alle a finden, für welche a die Reihe konvergiert.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a^{2k} }{(1 + a^{2})^{k-1} } \end{eqnarray*}$

Ich hab zuerst iwie an geometrische Reihe gedacht, aber dann im Internet gesehen, wie solche Aufgaben teilweise mit Qoutientenkriterium und teilweise als Potenzrehe gelöst wurden.

Bräuchte nen Tipp wie ich anfangen soll smile

smile

28.01.2013, 13:42

Che Netzer

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RE: Konvergenz für Reihe mit Variable
Du kannst die Reihe durchaus ale geometrische Reihe verstehen.

28.01.2013, 14:07

NeoKortex

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siehe einen Post weiter unten:

28.01.2013, 14:08

NeoKortex

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Potenzreihe bilden:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a^{2k} }{(1 + a^{2})^{k-1} } = \frac{a^{2} }{(1 + a^{2})^{k-1}} * a^{k} \end{eqnarray*}$

Qoutientenkriterium:
$\begin{eqnarray*} \frac{ \frac{a^{2} }{(1 + a^{2})^{k}} }{ \frac{a^{2} }{(1 + a^{2})^{k - 1}} } = - 1 - a^{2} \end{eqnarray*}$ und a ist für alle R < 1

stimmt das so?

Und als geometrische Reihe wäre das so richtig ausgeklammert?:

$\begin{eqnarray*} (\frac{a^{2} }{(1+a^{2} )^{-1} } )^{k} \end{eqnarray*}$

28.01.2013, 14:11

Che Netzer

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Das ist gar keine Potenzreihe in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ...

Und du solltest dir die Ausklammerung bei der Interpretation als geometrische Reihe nochmal genauer ansehen, der Nenner ist da falsch.

28.01.2013, 14:21

NeoKortex

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hm, ist das keine Potenzreihe, weil ein x drinn vorkommt?

Stimmt meine Ausklammerung jetzt?

$\begin{eqnarray*} (\frac{a^{2} * (1+a^{2} ) }{(1+a^{2}) } )^{k} \end{eqnarray*}$

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28.01.2013, 14:24

Che Netzer

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Zitat:

Original von NeoKortex
hm, ist das keine Potenzreihe, weil ein x drinn vorkommt?

Wo taucht denn da ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Stimmt meine Ausklammerung jetzt?

$\begin{eqnarray*} (\frac{a^{2} * (1+a^{2} ) }{(1+a^{2}) } )^{k} \end{eqnarray*}$

Das wäre nichts anderes als $\begin{eqnarray*} a^{2k} \end{eqnarray*}$ .
Aber die Form stimmt schon fast, es ist nur ein Faktor an der falschen Stelle.

28.01.2013, 14:29

NeoKortex

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oh ich meine weil kein x vorkommt smile

smile

$\begin{eqnarray*} (\frac{a^{2} }{(1+a^{2})*- (1+a^{2} ) } )^{k} \end{eqnarray*}$

28.01.2013, 14:32

Che Netzer

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Es ist vollkommen egal, wie die Variable heißt. Hier hat man aber nicht nur Potenzen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit Vorfaktoren.

Und woher kommt denn dieses Minus aus deinem neuen Vorschlag? Was machst du da eigentlich?

28.01.2013, 14:39

NeoKortex

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Zitat:

Original von Che Netzer
Was machst du da eigentlich?

Das wüsst ich auch gern Big Laugh

Big Laugh

ich dachte bei x^n+1 kann man ja auch x*x^n schreiben und bei x^n-1 wäre dass dann
entweder 1/x^n oder -x*x^n, aber anscheinend bin ich damit auf dem Holzweg.

28.01.2013, 14:40

Che Netzer

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Dann sieh dir mal die Potenzgesetze an. Was kann man machen, wenn im Exponenten eine Summe steht?

28.01.2013, 14:59

NeoKortex

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naja also 2^(3+5) ist dasselbe wie 2^8, aber ich find im Internet keine Beispiele für Variablen in der Summe des Exponenten.

28.01.2013, 15:00

Che Netzer

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Dann schreibe doch mal die Potenzgesetze auf. Da werden wir scon etwas passendes finden.

28.01.2013, 15:35

NeoKortex

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also $\begin{eqnarray*} a^{r-s} = \frac{a^{r} }{a^{s} } \end{eqnarray*}$
könnte ich doch nehmen?

Was mich zu sowas bringt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2k} }{\frac{(1 + a^{2} )^{k} }{(1 + a^{2} )^{-1} } } = (\frac{a^{2} }{\frac{(1+a^{2} )^{(1/k)} }{(1+a^{2} )} } )^{k} \end{eqnarray*}$

28.01.2013, 15:38

Che Netzer

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Was soll denn das mit dem $\begin{eqnarray*} 1/k \end{eqnarray*}$ werden?

Mit \left( und \right) kannst du übrigens die Klammergrößen anpassen. Dann merkt man besser, was bei dir in der Klammer stehen soll und was nicht.

28.01.2013, 16:04

NeoKortex

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also ich habe das gemacht, weil ich das k hochziehen wollte ( der Ausdruck wird ja auch nicht negativ ). verwirrt

verwirrt

Weil sonst komm ich ja nicht auf meine form (q)^k

28.01.2013, 18:23

Che Netzer

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Vor dem $\begin{eqnarray*} q^k \end{eqnarray*}$ kann aber gerne noch ein Vorfaktor stehen.

29.01.2013, 09:29

NeoKortex

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$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2k} }{1} * \frac{(1+a^{2})^{-1} }{(1+a^{2})^{k} } \end{eqnarray*}$

meinst du das der Zähler des zweiten Bruchs iwie alleine steht als Vorfaktor? So das meine beiden xyz^k zusammen in einem Bruch stehen?

29.01.2013, 09:37

NeoKortex

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$\begin{eqnarray*} \frac{(1+a^{2})^{-1} }{(1+a^{2})^{k} } * \sum\limits_{k=1}^n (\frac{a^{2} }{1+a^{2}} )^{k} \end{eqnarray*}$

obowhl ich darf ja des k net rausziehen, dann wohl eher:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{(1+a^{2})^{-1} }{(1+a^{2})^{k} } * (\frac{a^{2} }{1+a^{2}} )^{k} \end{eqnarray*}$

29.01.2013, 10:11

Che Netzer

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Zitat:

Original von NeoKortex
$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2k} }{1} * \frac{(1+a^{2})^{-1} }{(1+a^{2})^{k} } \end{eqnarray*}$

Hier ist schon ein Fehler drin, einer der Faktoren hat einen falschen Exponenten. Genau den kannst du dann auch rausziehen.

29.01.2013, 11:18

NeoKortex

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+a^{2})^{-1} } * \sum\limits_{k=1}^n (\frac{a^{2} }{1 + a^{2} } )^{k} \end{eqnarray*}$

29.01.2013, 11:21

Che Netzer

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Genau.
Und für welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe nun?

29.01.2013, 11:21

NeoKortex

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für alle a element R.

Danke dir smile

smile

29.01.2013, 11:23

Che Netzer

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Ja, das stimmt.

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