Differentialgleichungen mit Seperation der Variablen

28.01.2013, 15:44

Alexandra Ardanex

Differentialgleichungen mit Seperation der Variablen

Meine Frage:
Ein herzliches hallo! Wir sind nun bei DGLn angekommen und ich grübel nun an einem Aufgäbchen. Und zwar:

a) Bestimmen Sie mit Seperation der Variablen eine Lösung der Standardatmosphärenformel $\begin{eqnarray*} \frac{dp(x)}{dx}=-\alpha \frac{p(x)}{T(x)} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} , p(x_0)=p_0 \end{eqnarray*}$ mit linearem Temperaturverlauf $\begin{eqnarray*} T(x)=T_0 -b(x-x_0) \end{eqnarray*}$ und Druck $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ .

b) Zeigen Sie, dass die DGL $\begin{eqnarray*} y'=f(y/x) \end{eqnarray*}$ durch die Substitution $\begin{eqnarray*} y=ux \end{eqnarray*}$ n eine DGL für $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ übergeht, die sich durch Seperation der Variablen lösen lässt.

c) Lösen Sie mit dieser Methode die Gleichung $\begin{eqnarray*} xy'=2y+x \end{eqnarray*}$ mit der Randbedingung $\begin{eqnarray*} y(1)=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei der c) habe ich einige Beispiele zur Seperation der Variablen gefunden. Das würde ich noch halbwegs auf die Reihe bekommen. Bei a) und b) läuten aber die Alarmglocken. Da tue ich mich wirklich schwer, daher nehme ich jede Hilfe dankend entgegen.

LG Alex

28.01.2013, 16:17

zyko

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RE: Differentialgleichungen mit Seperation der Variablen
a) Bestimmen Sie mit Seperation der Variablen eine Lösung der Standardatmosphärenformel
$\begin{eqnarray*} \frac{dp(x)}{dx}=-\alpha \frac{p(x)}{T(x)} =-\alpha \frac{p(x)}{T_0 -b(x-x_0)} \end{eqnarray*}$
Die darin relevanten Größen sind x und p(x). Sorge dafür, dass auf der linken Seite nur noch dp(x) und p(x) und auf der rechten dx und x vorkommen. Nun kann auf der linken Seite $\begin{eqnarray*} \int a(p) dp \end{eqnarray*}$ und auf der rechten $\begin{eqnarray*} \int b(x) dx \end{eqnarray*}$ integriert werden.Die Gleichheit bleibt erhalten. Integrationskonstanten nicht vergessen. Diese werden für die Anfangsbedingungen benötigt.

b) Zeigen Sie, dass die DGL $\begin{eqnarray*} y'=f(y/x) \end{eqnarray*}$ durch die Substitution $\begin{eqnarray*} y=ux \end{eqnarray*}$ n eine DGL für $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ übergeht, die sich durch Seperation der Variablen lösen lässt.
Berechne dazu $\begin{eqnarray*} y'=u'x+u \end{eqnarray*}$
und ersetze y und y' durch die neuen Terme. Was entsteht jetzt?

Die Randbedingungen werden erst nach den Integrationen benötigt, deshalb habe ich sie hier nicht nochmals aufgeführt.

29.01.2013, 08:49

Alexandra Ardanex

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RE: Differentialgleichungen mit Seperation der Variablen
Was sind denn bei a) die Integrationskonstanten ? Und auf welche Seite kommen die Konstanten?
$\begin{eqnarray*} \frac{dp(x)}{dx}=-\alpha \frac{p(x)}{T_0 -b(x-x_0)} \end{eqnarray*}$

29.01.2013, 12:10

zyko

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RE: Differentialgleichungen mit Seperation der Variablen
Leider vermisse ich immer noch die Separation der Variablen (p und dp auf der linken Seite; x und dx auf der rechten).
Auf welcher Seite du nach dem Intergrieren eine Konstante einführst ist egal, aber du brauchst diese, um die Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} p(x_0)=p_0 \end{eqnarray*}$ erfüllen zu können.

29.01.2013, 15:15

Alexandra Ardanex

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RE: Differentialgleichungen mit Seperation der Variablen
Also wenn es nach mir geht dann leutet dann die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} T_0-b(x-x_0)dp(x)=-\alpha p(x) dx \end{eqnarray*}$

verwirrt

Ich korrigiere ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{dp(x)}{p(x)}=-\alpha \frac{dx}{T_0-b(x-x_0)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow d=-\alpha \frac{dx}{T_0-b(x-x_0)} \end{eqnarray*}$ kann man das kÜrzen ?

30.01.2013, 09:29

Alexandra Ardanex

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Ich komme da irgendwie nicht weiter unglücklich

wenn da ein einfaches x und y stehen würde schon eher... es ist ja sind ja nur Umformungen

30.01.2013, 11:58

zyko

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Fangen wir mal mit der linken Seite an.
Bei dir steht
$\begin{eqnarray*} \frac{dp(x)}{p(x)} \end{eqnarray*}$
Die Abhängigkeit von x ergibt sich erst durch die Gleichheit mit der rechten Seite, ansonsten ist dieser Ausdruck nicht explizit von x abhängig.
Zur Integration schreiben wir
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{p} dp \end{eqnarray*}$ .
Löse dieses Integral. Dass hier p steht und nicht y darf dich nicht stören.
In ähnlicher Weise wird die rechte Seite integriert allerdings steht dort dx.

30.01.2013, 15:37

Alexandra Ardanex

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RE: Differentialgleichungen mit Seperation der Variablen
Wie kommt man denn darauf ?

von $\begin{eqnarray*} \frac{dp(x)}{p(x)} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{p} dp \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{p} dp=ln(p) \end{eqnarray*}$ .

und rechts das Integral

$\begin{eqnarray*} \int \frac{-\alpha}{T_0-b(x-x_0)} dx \end{eqnarray*}$

Was integriert

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int \frac{-\alpha}{T_0-b(x-x_0)} dx=-\alpha \cdot ln(T_0-b(x-x_0)) \end{eqnarray*}$

vielleicht ergibt?

30.01.2013, 17:15

zyko

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RE: Differentialgleichungen mit Seperation der Variablen

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Wie kommt man denn darauf ?

von $\begin{eqnarray*} \frac{dp(x)}{p(x)} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{p} dp \end{eqnarray*}$ ?

Wir haben eine Beziehung zwischen dp und p. Wenn wir dieses integrieren entfällt dp und wir erhalten links einen Ausdruck mit p.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{p} dp=ln(p) \end{eqnarray*}$ .

richtig!

Zitat:

und rechts das Integral

$\begin{eqnarray*} \int \frac{-\alpha}{T_0-b(x-x_0)} dx \end{eqnarray*}$

Was integriert

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int \frac{-\alpha}{T_0-b(x-x_0)} dx=-\alpha \cdot ln(T_0-b(x-x_0)) \end{eqnarray*}$

vielleicht ergibt?

Falsch! Du musst hier die Kettenregel der Differentiation auch bei der Integration beachten.
Zur Kontrolle (denn dein Ergebnis ist schon fast richtig) differenziere deine rechte Seite und vergleiche mit dem Integranden links.
Anschließend solltest du noch auf mindestens einer der beiden Seiten eine Integrationskonstante einführen. Diese brauchst du, um deine Randbedingung zu erfüllen.
Dann kannst du noch nach p auflösen, wodurch der ln unter Beachtung der Regeln des Logarithmus weg fällt.

01.02.2013, 09:10

Alexandra Ardanex

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RE: Differentialgleichungen mit Seperation der Variablen

Zitat:

Original von zyko
[quote]Original von Alexandra Ardanex
Wie kommt man denn darauf ?

von $\begin{eqnarray*} \frac{dp(x)}{p(x)} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{p} dp \end{eqnarray*}$ ?

Wir haben eine Beziehung zwischen dp und p. Wenn wir dieses integrieren entfällt dp und wir erhalten links einen Ausdruck mit p.

Ich komme da irgendwie noch nicht dahinter verwirrt

Eine Beziehung zwischen dp und p, wobei das p von x abhängt und wenn wir das integrieren entfällt das dp mhm. Kann man irgendwie noch besser veranschaulichen ?
gral

$\begin{eqnarray*} \int \frac{-\alpha}{T_0-b(x-x_0)} dx=\frac{\alpha}{b} \cdot ln(T_0-b(x-x_0)) \end{eqnarray*}$

So muss es stimmen ? Dann hätten wir

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ln(p)=\frac{\alpha}{b} \cdot ln(T_0-b(x-x_0)) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Anschließend solltest du noch auf mindestens einer der beiden Seiten eine Integrationskonstante einführen. Diese brauchst du, um deine Randbedingung zu erfüllen.
Dann kannst du noch nach p auflösen, wodurch der ln unter Beachtung der Regeln des Logarithmus weg fällt.

Ich sollte "mindestens" auf einer der beiden Seiten eine Integrationskonstante einführen. Mir ist nur nicht klar wieso man manchmal auf beiden Seiten eine einführt und hier jetzt anscheinend nur eine ? Und wieso manchmal Integrationsgrenzen vom Himmel fallen verwirrt

Danke

01.02.2013, 09:30

zyko

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RE: Differentialgleichungen mit Seperation der Variablen
Jetzt hast du deine gesuchte Funktion, wenn du diese Gleichung nach p auflöst, $\begin{eqnarray*} p=e^{linke Seite}=e^{rechte Seite}e^a \end{eqnarray*}$ .
Aber vorher (nicht nachher) noch die Integrationskonstante a addieren.
Wenn man auf beiden Seiten eine Integrationskonstante einführt, so ist dafür keine eindeutige Lösung erreichbar. Nur deren Differenz lässt sich über die Randbedingung bestimmen. Zwei Integrationskonstante erleichtern allerdings evtl. die Lesbarkeit der Lösung, z.B. p-p_0=f(x-x_0).
Für dein Problem
$\begin{eqnarray*} p_0=e^{rechte Seite(x=x_0)}e^a \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} e^a \end{eqnarray*}$ wiederum eine Konstante ist, genügt es nach $\begin{eqnarray*} e^a \end{eqnarray*}$ aufzulösen und in die allgemeine Lösung einzusetzen.

01.02.2013, 09:47

Alexandra Ardanex

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RE: Differentialgleichungen mit Seperation der Variablen
Also

$\begin{eqnarray*} ln(p)=\frac{\alpha}{b} \cdot ln(T_0-b(x-x_0))+C |e^{(...)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p=e^{\frac{\alpha}{b}} \cdot e^{(T_0-b(x-x_0))} \cdot e^{C} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} e^{C}=C' \end{eqnarray*}$

01.02.2013, 17:30

zyko

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RE: Differentialgleichungen mit Seperation der Variablen

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Also

$\begin{eqnarray*} ln(p)=\frac{\alpha}{b} \cdot ln(T_0-b(x-x_0))+C |e^{(...)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p=e^{\frac{\alpha}{b}} \cdot e^{(T_0-b(x-x_0))} \cdot e^{C} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} e^{C}=C' \end{eqnarray*}$

Nicht richtig.
Beachte, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{b} \cdot \ln(T_0-b(x-x_0))= \ln\left((T_0-b(x-x_0))^{\frac{\alpha}{b} }\right) \end{eqnarray*}$ und danach $\begin{eqnarray*} e^{(\cdots)} \end{eqnarray*}$

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