Potenzreihe k-te Ableitung Beweis

28.01.2013, 16:17

DarthVader

Potenzreihe k-te Ableitung Beweis

Hallo zusammen,

ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich einen Beweis habe, mir aber nicht sicher bin, ob auch alles richtig ist. Ich würde mich freuen, wenn ihr mal drüber schaut.

Zur Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} f: (-R,R) \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Funktion, die durch folgende Potenzreihe gegeben ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} c_k x^k \end{eqnarray*}$
Mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ .

Beweisen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} c_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!} \end{eqnarray*}$

Beweis:
Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ , damit ist f absolut konvergent und damit beliebig oft differenzierbar. Für die k-te Ableitung gilt:
$\begin{eqnarray*} f^{(k)}(x)=\sum\limits_{k=k}^{\infty} \frac{k!}{(k-k)!} c_k x^{k-k}=\sum\limits_{k=k}^{\infty} k! c_k x^0=k! c_k \end{eqnarray*}$
Und mit $\begin{eqnarray*} 0^0:=1 \end{eqnarray*}$ ist insbesondere:
$\begin{eqnarray*} f^{(k)}(0)=\sum\limits_{k=k}^{\infty} k! c_k 0^{0}=k! c_k \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f^{(k)}(0)=k! c_k \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} c_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!} \end{eqnarray*}$

Mich irritiert hierbei auch, dass in der Behauptung für die k-te Ableitung x=0 sein muss und in meiner Rechnung spielt das keine Rolle. Deswegen denke ich auch, dass ich einen Fehler gemacht habe. Über ein paar Tipps würde ich mich sehr freuen.

28.01.2013, 16:22

Mystic

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RE: Potenzreihe k-te Ableitung Beweis

Zitat:

Original von DarthVader
Mich irritiert hierbei auch, dass in der Behauptung für die k-te Ableitung x=0 sein muss und in meiner Rechnung spielt das keine Rolle. Deswegen denke ich auch, dass ich einen Fehler gemacht habe. Über ein paar Tipps würde ich mich sehr freuen.

Ja, bei dir liefert die k-te Ableitung von f eine Konstante, was ja wohl nicht sein kann, da dies nur für die Summanden in der Summendarstellung gilt, deren Koeffizient 0 oder deren Grad höchstens k ist... geschockt

28.01.2013, 17:20

DarthVader

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Danke für deine Antwort, dann habe ich wohl bei der k-ten Ableitung was falsch gemacht. Setze mich da gleich nochmal dran...ist denn die Idee der richtige Weg oder sollte ich einen ganz anderen Ansatz wählen...

28.01.2013, 18:32

Mystic

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Die Idee war goldrichtig, nur die Ausführung mangelhaft... Big Laugh

29.01.2013, 12:28

DarthVader

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Hallo,

habe mich heute morgen noch einmal an den Beweis gesetzt und jetzt folgendes, ich hoffe nun ist es richtig.

Beweis:

Für die k-te Ableitung von f gilt:

$\begin{eqnarray*} f^{(k)}(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n+k)!}{n!} c_{n+k} x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{(0+k)!}{0!} c_{0+k} x^0+\frac{(1+k)!}{1!} c_{1+k} x^1+\frac{(2+k)!}{2!} c_{2+k} x^2+\frac{(3+k)!}{3!} c_{3+k} x^3+... \end{eqnarray*}$

Und für x=0 und 0^0:=1 folgt unmittelbar

$\begin{eqnarray*} =\frac{(0+k)!}{0!} c_{0+k} 0^0+\frac{(1+k)!}{1!} c_{1+k} 0^1+\frac{(2+k)!}{2!} c_{2+k} 0^2+\frac{(3+k)!}{3!} c_{3+k} 0^3+... \end{eqnarray*}$

Alle Summanden deren Potenz von x>0 sind werden Null und fallen raus. Am Ende hat man dann

$\begin{eqnarray*} f^{(k)}(0)=k! c_k \cdot 1 \Rightarrow c_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!} \end{eqnarray*}$

Ist dieser Beweis jetzt korrekt...

29.01.2013, 22:46

Mystic

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Ja, ist jetzt korrekt, bis auf die Tatsache, dass deine Summe bei n=0 beginnt, was aber offenbar nur ein Schreibfehler war, denn es geht danach richtig weiter... Augenzwinkern

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