Extrema

28.01.2013, 17:00

F12

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Extrema

Hallo ich habe eine frage zu einer Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sqrt{x} }{1+x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$

Untersuchen sie f auf lokale und globale Extremstellen. Geben sie auf an ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt.

Wie bestimme ich denn die Ableitung ?

Muss ich die Quotientenregel anwenden?

28.01.2013, 17:04

Cheftheoretiker

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RE: Extrema
Jap, mit der Quotientenregel kann man die Ableitung bilden. smile

smile

28.01.2013, 17:27

F12

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Meine 1 Ableitung sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} f´(x) = \frac{(1+x) -1* (\sqrt{x} )}{2*\sqrt{x} *(1+x)^2} \end{eqnarray*}$

Aber wie kriege ich heiraus meine exremstelle raus.

Ganz schon schwierig?

28.01.2013, 17:27

Mystic

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RE: Extrema
Nur ganz nebenbei kann man das auch als eine wunderschöne Übungsaufgabe für sog. "laterales Denken" auffassen... Indem man

$\begin{eqnarray*} x=\tan^2 t \quad (t \in [0,\pi/2 )) \end{eqnarray*}$

setzt entsteht nach einer kleinen Umformung ein so einfacher Ausdruck, dass man sofort (und ohne Ableiten!) die in der Aufgabe gestellten Fragen beantworten kann...

Edit: Und $\begin{eqnarray*} f^4(x) \end{eqnarray*}$ (oder f'(x) oder was auch immer) ist falsch...

28.01.2013, 17:38

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von F12
Meine 1 Ableitung sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{(1+x) -1* (\sqrt{x} )}{2*\sqrt{x} *(1+x)^2} \end{eqnarray*}$

Aber wie kriege ich heiraus meine exremstelle raus.

Ganz schon schwierig?

Jap, sieht gut aus. Wann wird ein Bruch denn Null? smile

smile

28.01.2013, 17:41

Mystic

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Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Jap, sieht gut aus.

Nein, wie ich oben im Edit schon sagte, tut es das nicht... unglücklich

unglücklich

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28.01.2013, 17:44

F12

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Soll ich jetzt nur den Nenner des Bruchs = 0 setzen ?

28.01.2013, 17:46

Mystic

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Eher die Quotientenregel richtig anwenden und dann den Zähler nullsetzen...

28.01.2013, 17:46

Cheftheoretiker

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Wie Mystic bereits sagte solltest du die Ableitung nochmal überprüfen, da muss wohl noch ein Fehler drin sein.

28.01.2013, 17:53

F12

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Oh Mann so liegt der Fehler ?

Den erkenne ich gar nicht .

28.01.2013, 18:06

Mystic

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\frac{1+x}{2\sqrt x}-1\cdot\sqrt x}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$

28.01.2013, 18:19

F12

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Ah ok das ist ja nur ein wenig umgeschrieben , aber wie Kriege ich daraus meine nullstellen raus?

28.01.2013, 18:27

Mystic

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Zitat:

Original von F12
Ah ok das ist ja nur ein wenig umgeschrieben , [...]

Du meinst also allen Ernstes, das wäre dasselbe, wie dein Ausdruck? böse

böse

Zitat:

Original von F12
[...] aber wie Kriege ich daraus meine nullstellen raus?

Mann, du bist wirklich ein hartnäckiger Falll, aber ich habe es nicht besser verdient, warum habe ich mich auch hier eingemischt... unglücklich

unglücklich

Also nun zum drittenmal: Indem du den Zähler nullsetzt... Ansage

Ansage

28.01.2013, 18:33

F12

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Du meinst denn Nenner vom Bruch oder ?

Dann kommt für x = +-1 raus oder ?

28.01.2013, 19:10

Mystic

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Zitat:

Original von F12
Du meinst denn Nenner vom Bruch oder ?

Dann kommt für x = +-1 raus oder ?

Entweder meinst das im Ernst oder du willst mich bloß vera...en. unglücklich

unglücklich

In jedem Fall bin ich damit endgültig raus... Wink

Wink

28.01.2013, 19:48

F12

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Nein wollte ich nicht.

Soll ich das null setzen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{2*\sqrt{x} } - 1*\sqrt{x} = 0 \end{eqnarray*}$

Aber ihr muss mir einen tipp geben , wie ich hier die extrema rausbekomme bitte.

28.01.2013, 20:10

F12

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Gibt es hier vielleicht einen trick wie ich die x werte raus bekomme?

28.01.2013, 21:16

Calvin

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Um vielleicht nochmal klarzustellen, wie Mystics Reaktion zustande kam:

Ein Bruch wird genau dann null, wenn der Zähler (also der obere Teil) null wird.

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{3}=0 \end{eqnarray*}$

Du hast die ganze Zeit vom Nenner (also dem unteren Teil) gesprochen und auch noch Mystics mehrfache Hinweise als "du meinst doch was anderes, oder" abgetan.

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{0} \end{eqnarray*}$ ist nicht defniert!

Mystic kannst du da schon vertrauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dein nächster Schritt für die Extremstellen ist *jetzt* richtig. Zum Lösen der Gleichung musst du erst mal den Bruch wegkriegen, indem du die komplette Gleichung mit dem Nenner multiplizierst.

28.01.2013, 22:39

F12

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Nur so eine frage des Verständnisses halber , warum setzt man nur den Zähler = 0 ?

Meine rechnung sieht jetzt so aus:

$\begin{eqnarray*} ( 1+x) - 2*\sqrt{x} *x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ( 1+x) = 2*\sqrt{x} *x \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich leider nicht mehr .
Was mache ich als nächstes?

28.01.2013, 22:46

Calvin

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Zitat:

Original von F12
Nur so eine frage des Verständnisses halber , warum setzt man nur den Zähler = 0 ?

Weil $\begin{eqnarray*} \frac{0}{\text{irgendwas}}=0 \end{eqnarray*}$

Bei deinen nächsten Schritten hat du bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ plötzlich die Wurzel verloren.

28.01.2013, 22:59

F12

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Ich hatte die Klammer ausmultipliziert .

Kann es aber auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} ( 1+x) -\sqrt{x} *(2*\sqrt{x} ) \end{eqnarray*}$

Aber was mache ich als nächstes?

28.01.2013, 23:12

Calvin

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Jetzt kannst du die Klammern auflösen. Aber mache nicht den gleichen Fehler wie vorhin ;-)

Ich machte jetzt Feierabend. Gute Nacht.

28.01.2013, 23:55

F12

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Müsste das rauskommen oder?

1+ x -2x = 0

Richtig?

29.01.2013, 06:32

Calvin

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Ja

29.01.2013, 10:03

F12

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Dann kommt doch x= 1 raus oder? Jetzt 1 in die zweite Ableitung einsetzen . Aber wie bestimme ich die zweite Ableitung . Das wirkt auf mich ziemlich schwer.

29.01.2013, 14:58

F12

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Hey Kann mir jemand weiter helfen?

29.01.2013, 18:24

Calvin

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Ja, x=1 ist richtig.

Für die zweite Ableitung würde ich die erste Ableitung erst mal ein bisschen zusammenfassen. Der Doppelbruch macht es nämlich nicht einfacher.

Grundsätzlich empfehle ich in diesem Fall aber das
Vorzeichenwechsel-Kriterium. Dann benötigst du die zweite Ableitung überhaupt nicht.

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