lin. Abb. Basis des Kerns/Bildes und Dimensionsformel

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baba2k Auf diesen Beitrag antworten »
lin. Abb. Basis des Kerns/Bildes und Dimensionsformel
Hallo zusammen,

irgendwie bin ich mir bei folgender Aufgabe nicht sicher:

Die lineare Abbildung wird durch die folgende Marix gegeben, wobei

Bestimmen Sie eine Basis des Kerns sowie eine Basis des Bildes von f und bestätigen Sie die Dimensionsformel.

Meine Ideen:

Basis des Kerns von f:




Basis des Kerns von f:

Basis des Bildes von f:



Basis des Bildes von f:


Dimensionsformel bestätigen:


Ist der Kern und das Bild von f so korrekt? Beim Bild kommt ja irgendwie ein Vektor zwei mal vor...

Vielen Dank!
AxelSchweiss Auf diesen Beitrag antworten »

In der Zweiten Zeile deiner Matrix (nach der Umformung mit dem Gauß-Algo.) müsste nicht (0 0 4) sondern (0 0 4i) stehen. Dadurch erhälst du drei Basisvektoren.

Würde allerdings bedeuten, dass deine Dimensionsformel nicht aufgeht, oder liege ich da falsch?
 
 
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@baba2k: Kein Vertrauen mehr in meine Methode? Big Laugh
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

@AxelSchweiss, mh wie kommst du auf 4i?

oder nicht?

@URL: Doch auf jendefall, sogar der Übungsleiter
hat heute was gelernt smile Aber ich konnte es so
nicht auf anhieb sehen, da habe ich es nach Schema gemacht.
Wie siehst du das bei dieser Aufgabe auf anhieb?
Das die 3. Spalte das doppelte der 1. Spalte ist habe ich gesehen,
aber das Spalte 2 und 4 gleich sind habe ich nicht gesehen.
AxelSchweiss Auf diesen Beitrag antworten »

Subtrahiert man von der zweiten Zeile das i-fache der ersten Zeile, bleibt (0 0 4i) stehen.
Alternativ könnte man auch das -i-fache der ersten Zeile zur Zweiten dazuaddieren. Ist ja im Grunde genau das gleiche.

Wie kommst du nur auf 4?
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Muss man nicht rechnen? So habe ich es gemacht
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Ihr macht beide erlaubte Umformungen, habt also beide recht.
Im Endeffekt ergibt sich kein Unterschied, weil die Vektoren
linear abhängig sind. Es bleibt also bei zwei Basisvektoren und die Dimensionsformel gilt auch hier

Zur schnellen Basisermittlung: Das erste Element der zweiten Spalte von M(f) ist -1, das erste der vierten Spalte ist -i.
Dann musst du nur für die übrigen Elemente der zweiten Spalte prüfen, ob sie mit i multipliziert das entsprechende Element der vierten Spalte ergeben
i i = -1
2i i = -2
Fertig
AxelSchweiss Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, der Gauß-Algo. sieht eigentlich vor, dass du II' erhälst, indem du ein vielfaches von I zu II dazuaddierst.

Wieso wendest du die Zeilenoperation eigentlich nur auf die Spalte an und nicht (wie der Name schon sagt) auf die ganze Zeile?

Würdest du dies tun, würdest du auch mit deinem Rechenweg eine andere Zeile erhalten.
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Der Gauß-Algorithmus verbietet aber nicht, eine Zeile mit einem Faktor ungleich Null zu multiplizieren und anschließend eine andere Zeile zu addieren. Diese beiden Operationen hat baba2k in einem Schritt gemacht.
Solange man Gleichungssysteme betrachtet ist das alles erlaubt. Bei der Berechnung von Determinanten muss man den Faktor dann berücksichtigen
AxelSchweiss Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, es ist "spät" und ich bin schon lange auf den Beinen. Beide Rechenwege sind richtig (wenn auch nur meiner sich strikt an den Algo. hält). Ich habe mir immer verguckt. Sorry.

Allerdings würde ich dann gerne wissen wie die Basis aussieht?

(i 1 -2) und (0 0 4) oder (i 1 -2) und (0 0 4i)?

Ist dies egal, weil (0 0 4) und (0 0 4i) linear abhängig zueinander sind?
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mich schon gewundert du hast recht, wenn in der 2. Spalte 4i steht
kann ich danach ja einfach rechnen und habe noch eine Nullzeile mehr.
Ich habe mich schon gewundert.

Okay, wenn du es mir so sagst, sehe ich es auch auf anhieb smile Werde das noch ein
bisschen üben.

//EDIT: Wieso hält sich nur deiner strikt an den Gauß-Algo @AxelSchweiss?

//EDIT2: Joa das sollte wohl egal sein, da sie l.a sind, man kann ja entweder die "4i" Zeile
oder die "-4" Zeile zur Nullzeile umformen.
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@AxelSchweiss: Wegen der linearen Abhängigkeit sind das in der Tat alles Basen.
Du kannst als einen der Basisvektoren einen beliebigen der Form (0 0 z)^T mit komplexer Zahl z nehmen.

Soweit ich weiß, werden bei Implementierung des Gauß-Algo wegen der numerischen Stabilität die Zeilen einer Matrix vor Pivotsuche so äquilibiriert, dass die Betragssummen der Zeileneinträge gleich groß werden. Die Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor ungleich Null ist also nicht ungewöhnlich und sehr wohl Bestandteil des Gauß-Algo.
Dass man diesen Schritt bei Handrechnungen nicht macht oder erst am Ende, wenn man die Variablen bestimmt, steht auf einem anderen Blatt.
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Mh so richtig blicke ich da nicht durch, mache ich etwas untypisch beim Gauß-Algo?
Macht man das bei "Handrechnungen" so eigentlich nicht?
Es wurde mir bis jetzt noch nichts von einem Korrekteur deswegen abgezogen.

Das man den Faktor bei Determinanten berücksichtigen muss, haben wir heute gelernt.
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Aus meiner Sicht machst du nichts untypisch und schon gar nichts verkehrt. Lass dich nicht verunsichern.
baba2k Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke smile
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