f stetig dann konstant Beweis (Aufgabe)

28.01.2013, 17:55

steviehawk

f stetig dann konstant Beweis (Aufgabe)

Meine Frage:
Hallo Leute, ich komme bei der Aufgabe, nicht so richtig weiter!

Sei $\begin{eqnarray*} f: [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig und es gelte: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{f(x^2)+f(x^3)}{2} \end{eqnarray*}$ für alle x,dann muss f konstant sein.

Soll ich hier mit einem Widerspruchsbeweis arbeiten? Ich hab mal 0 und 1 eingesetzt da passt das natürlich da:
1^3 = 1^2 = 1 ist. Und bei 0 auch.

Wenn ich aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einsetze, sieht man schon, dass das nur sein kann, wenn f konstant ist, aber wie zeige ich das denn?

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!

01.02.2013, 17:27

Che Netzer

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RE: f stetig dann konstant Beweis (Aufgabe)
Für $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ kannst du als erstes $\begin{eqnarray*} f(x)=f(0) \end{eqnarray*}$ durch wiederholtes Anwenden der Voraussetzung zeigen. Den Fall $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ kannst du dir dann selbst überlegen.

01.02.2013, 17:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
Sei $\begin{eqnarray*} f: [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig

Diese Voraussetzung hätte man also ohne Einbußen auf die Stetigkeit in zwei gewissen Punkten abschwächen können. Augenzwinkern

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