Abschätzung Logarithmus

28.01.2013, 20:17

steviehawk

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Abschätzung Logarithmus

Meine Frage:
Hallo Leute,
es gilt doch die Abschätzung: $\begin{eqnarray*} log(x) \leq x-1 \end{eqnarray*}$

dann muss doch auch die Abschätzung: $\begin{eqnarray*} log^2(x) \leq (x-1)^2 \end{eqnarray*}$ gelten oder?

Ich wollt die Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{log^2(1+n)} \end{eqnarray*}$ untersuchen. Ich dachte dann sofort an die Abschätzung von oben und hätte doch dann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{log^2(1+n)} \geq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1-1)^2} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n)^2} \end{eqnarray*}$ und das ist konvergent.

Die Lösung sagt allerdings divergent. Wo steckt mein Fehler??

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!

28.01.2013, 20:22

Iorek

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RE: Abschätzung Logarithmus

Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{log^2(1+n)} \geq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1-1)^2} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n)^2} \end{eqnarray*}$ und das ist konvergent.

Es stimmt zwar, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert, allerdings bringt es dir nichts, wenn du deine Reihe von oben gegen eine konvergente Reihe abschätzt. Du solltest also lieber eine passende divergente Reihe finden, gegen die du von oben abschätzen kannst.

28.01.2013, 20:48

steviehawk

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RE: Abschätzung Logarithmus
Ach ja klar. Echt Zeit Feierabend zu machen geschockt

geschockt

29.01.2013, 09:58

steviehawk

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RE: Abschätzung Logarithmus
Also die Lösung arbeitet mit dem Verdichtungskriterium, da habe ich noch nicht so viel Übung drin. Verstehe auch nicht so ganz, warum die folgende Abschätzung gelten soll?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^k}{log^2(1+2^k)} \geq \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^k}{log^2(2^k)} \end{eqnarray*}$

wenn ich den Nenner kleiner mache, und das mache ich ja offensichtlich, wenn ich 1 weglasse. Dann wird doch der Quotient größer...

Steh ich jetzt total auf dem Schlauch?

29.01.2013, 11:48

RavenOnJ

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wo steht denn diese Ungleichung?

29.01.2013, 12:01

RavenOnJ

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RE: Abschätzung Logarithmus
Es muss wohl heißen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^k}{log^2(1+2^k)} \geq \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^k}{log^2(2^{k+1})} \end{eqnarray*}$

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29.01.2013, 12:30

steviehawk

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Zitat:

Original von RavenOnJ
wo steht denn diese Ungleichung?

Leider in der Musterlösung der Klausur

29.01.2013, 12:32

steviehawk

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RE: Abschätzung Logarithmus

Zitat:

Original von RavenOnJ
Es muss wohl heißen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^k}{log^2(1+2^k)} \geq \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^k}{log^2(2^{k+1})} \end{eqnarray*}$

Okay so wird es ersichtlich.
Dann bekomme ich ja:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^k}{log^2(2^{k+1})} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2^k}{(k+1)log^2(2)} \end{eqnarray*}$

offensichtlich bildet dann $\begin{eqnarray*} \frac{2^k}{(k+1)log^2(2)} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge mehr und ich hätte die Divergenz.

31.01.2013, 17:02

steviehawk

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RE: Abschätzung Logarithmus
kann ich nicht auch ganz einfach sagen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{log^2(1+n)} \geq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{log(1+n)} \geq \frac{1}{1+n} \geq \frac{1}{3n} \end{eqnarray*}$ wobei sicherlich sehr grob abgeschätzt wurde, aber ich kann ja mal Obda n > 1000 vorrausetzen.

geht das?

31.01.2013, 17:41

RavenOnJ

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RE: Abschätzung Logarithmus

Zitat:

Original von steviehawk
kann ich nicht auch ganz einfach sagen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{log^2(1+n)} \geq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{log(1+n)} \geq {\color{red}\sum\limits_{n=1}^\infty }\frac{1}{1+n} \geq {\color{red}\sum\limits_{n=1}^\infty }\frac{1}{3n} \end{eqnarray*}$ wobei sicherlich sehr grob abgeschätzt wurde, aber ich kann ja mal Obda n > 1000 vorrausetzen.

geht das?

Edit: nein, s.u.

31.01.2013, 18:05

Ungewiss

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Ich bezweifle, dass die erste Ungleichung richtig ist.

31.01.2013, 18:07

RavenOnJ

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da hast du recht, aber weiter oben hatte er ja schon die Divergenz auf anderem Weg gezeigt.

31.01.2013, 18:16

RavenOnJ

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ne, hat er doch noch nicht, da die Divergenz von

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^k}{(k+1)^2 \log^2(2)} \end{eqnarray*}$

noch nicht gezeigt war.

31.01.2013, 18:21

Ungewiss

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Also ich würde ausnutzen, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{\log^2(1+n)}{n}=0 \end{eqnarray*}$ ist, damit ist für genügend grosses n
$\begin{eqnarray*} \log^2(1+n)\leq n \end{eqnarray*}$ .

Die Divergenz der verdichteten Reihe hat er doch mit dem Erkennen, dass die Summanden keine Nullfolge bilden, begründet. Auch wenn in seiner Antwort ein Quadrat fehlte.

31.01.2013, 18:33

RavenOnJ

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wenn du so etwas - mit der Hand am Arm - "zeigen" nennst, dann hat er das.

31.01.2013, 18:34

HAL 9000

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Man kann übrigens auch auf die "Originalidee"

Zitat:

Original von steviehawk
es gilt doch die Abschätzung: $\begin{eqnarray*} log(x) \leq x-1 \end{eqnarray*}$

zurückgreifen, und zwar mit $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{1+n} \end{eqnarray*}$ : Dann ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\ln(1+n) = \ln(\sqrt{1+n}) \leq \sqrt{1+n}-1 < \sqrt{1+n} \end{eqnarray*}$

und folglich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\ln^2(1+n)} > \frac{1}{4(1+n)} \end{eqnarray*}$ .

31.01.2013, 18:37

Ungewiss

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Zitat:

Original von RavenOnJ
wenn du so etwas - mit der Hand am Arm - "zeigen" nennst, dann hat er das.

Er selbst sagte, es sei "offensichtlich", also wird er wohl eine Begründung parat haben.

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