Orthogonalität?

16.02.2007, 22:27

martin85

Orthogonalität?

Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe:
Sei U Teilmenge von R^3 der von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufgespannte Unterraum. Ich soll alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ mit x senkrecht auf U (bezüglich des Standardskalarprodukts) bestimmen.
Kann mir jemand Lösungsansätze geben?

Grüße Martin

16.02.2007, 22:36

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Eigenschaft hat das Skalarprodukt von X mit einem der den Raum bildenden Spannvektoren?

mY+

16.02.2007, 22:39

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonalität?

Zitat:

Original von martin85
Kann mir jemand Lösungsansätze geben?

Ja, ich. Willst du sie etwa auch hören? Big Laugh

Ich gehe mal davon aus:

Wegen $\begin{eqnarray*} \mathrm{dim} U = 2 = 3-1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine Ebene. Du suchst jetzt alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ derart, dass gilt: $\begin{eqnarray*} \langle x, u_1 \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle x, u_2 \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ deine die Ebene aufspannenden Vektoren aus der Angabe sind. An dieser Stelle kommt das Kreuzprodukt ins Spiel.

Gruß, therisen

16.02.2007, 23:24

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Kreuzprodukt legt ja auch eine bestimmte Orientierung und Länge des Resultatvektors fest. Da es hier aber nur um die Orthogonalität geht, und ohnehin die Menge aller Lösungen (die bis auf einen Parameter bestimmt - also einparametrig - ist) gefragt ist, sollte man die o.a. Eigenschaft des Skalarproduktes von x mit den beiden Spannvektoren verwenden.

Dadurch erhalten wir zwei Gleichungen in den drei Koordinaten des gesuchten Vektors. Eine dieser Koordinaten kann als Parameter eingeführt werden, wobei sich dann die anderen zwei in diesem ausgedrückt ergeben.

mY+

17.02.2007, 00:20

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonalität?
Mit $\begin{eqnarray*} U^\bot = \left\langle\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rangle \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 = U \oplus U^\bot \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \langle u, u^\bot \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u\in U, u^\bot\in U^\bot \end{eqnarray*}$ .

Die von dir angesprochene Parametrisierung ergibt sich nach der expliziten Berechnung des Kreuzproduktes unmittelbar.

Ich finde diese Lösung ästhetischer und v.a. schneller. Aber das ist Geschmackssache. Nichts für ungut Wink

Gruß, therisen

PS: Man beachte, dass $\begin{eqnarray*} \langle~,~ \rangle \end{eqnarray*}$ das Skalarprodukt bezeichnet, wohingegen $\begin{eqnarray*} \langle x \rangle := \mathrm{span}\{x\} \end{eqnarray*}$ ist.

17.02.2007, 00:54

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Kreuzprodukt erscheint auch für mich als die pragmatischere Lösung, insoferne sind wir d'accord.

Ich habe die andere Möglichkeit für den Fall aufgezeigt, dass aus bestimmten Gründen das Kreuzprodukt nicht verwendet werden kann/soll.

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Orthogonalität?

Verwandte Themen