Partielle Dgl numerisch lösen |
| 29.01.2013, 03:34 | blurry | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Partielle Dgl numerisch lösen kann man auch eine part. DGL 2.Ordnung numerisch lösen ? Oder muß man sie immer auf eine part. DGL 1.Ordnung zurückführen ?? |
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| 29.01.2013, 12:39 | zyko | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Partielle Dgl numerisch lösen Man kann partielle Differentialgleichungen numerisch lösen, indem man die Ableitungen (Differentialquotienten) durch Differenzenquotienten mit fester Schrittweite h ersetzt. Falls die partiellen Ableitungen unterschiedliche Dimensionen haben z.B. Ort und Zeit, können auch unterschiedliche Schrittweiten sinnvoll sein. Man erhält ein großes Gleichungssystem für die unbekannten Funktionswerte der Lösung. Dieses Gleichungssystem kann linear sein, wenn die Differentialgleichung linear ist. Die Wahl der optimalen Schrittweite ist schwierig, da kleine Schrittweiten nicht nur die Anzahl der Unbekannten erhöht, sondern auch zu numerisch instabilen Effekten führen kann. Z.B. Wird beim GaußAlgorithmus ein Pivotelement ausgewählt. Diese Pivotelement sollte betragsmäßig möglichst groß sein. Ich habe die Erfahrung gemacht, dass man das neue Element =0 setzen sollte, falls es betragsmäßig des alten Elements ist, um zu verhindern, dass dieses Element Pivotelement werden kann. Das kann natürlich bei einem anderen Gleichungsproblem wieder anders lauten. Bei nichtlinearen Problemen bieten sich die Gradientenmethode, Simulated Annealing oder die Evolutionsstrategie an. Da diese Verfahren mit einem Startwert arbeiten, sollte man versuchen, mit einem linearen Approximationverfahren für das Gleichungssystem einen möglichst guten Startwert (i.d.R. ein mehrdimensionales Feld von Funktionswerten) zu errechnen. |
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| 29.01.2013, 18:35 | blurry | Auf diesen Beitrag antworten » |
kann mir mal einer erklären warum in wikipedia auf der rechten seite in der 1.zeile 2-3/h² steht. u(0) = 3 also müßte die 3 doch auf der linke Seite auftauchen also in der Matrix und nicht im Vektor ? http://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Differenzen-Methode |
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| 29.01.2013, 19:33 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die linke Seite hängt nur von den ab. Skalare ohne diese Abhängigkeit werden auf der rechten Seite gesammelt. |
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| 29.01.2013, 19:56 | blurry | Auf diesen Beitrag antworten » |
aber warum 2- 3/h² ??? u(0) = 3 entspricht u(0) nicht i=0 ??? also |
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| 29.01.2013, 20:01 | blurry | Auf diesen Beitrag antworten » |
und dann sieht ja jede Matrix immer gleich aus ?? Denn die Formel für die 2.Ableitung ist ja fest ?? |
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| 29.01.2013, 20:19 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja. das kommt von dem Vorfaktor der Matrix. Man fängt mit bei u(0) an, um genügend Daten zu erhalten. |
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| 29.01.2013, 20:20 | blurry | Auf diesen Beitrag antworten » |
dacht ich mir schon dass 1/h² davon kommt. Aber warum bitte das minus ?? 2- 3/h² . Warum nicht + ??? |
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| 29.01.2013, 20:22 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » |
Na um das von der linken auf die rechte Seite zu bringen, rechnet man Minus. |
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| 29.01.2013, 20:31 | blurry | Auf diesen Beitrag antworten » |
aso. Wie kann ich denn u'' = 2 auf ein System 1.Ordnung zurückführen ? u' = z und weiter ? |
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| 29.01.2013, 22:29 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » |
und z'=2 |
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| 29.01.2013, 22:37 | blurry | Auf diesen Beitrag antworten » |
dafür bräuchte ich ja gar keine finiten Differenzen. Das kann ich ja auch mit Euler o.ä. lösen . |
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| 29.01.2013, 22:41 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » |
Theoretisch schon, ja. Aber das Eulerverfahren ist im Endeffekt ja auch nur ein Finite-Differenzen-Verfahren. |
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| 29.01.2013, 23:33 | blurry | Auf diesen Beitrag antworten » |
in dem Beispiel bei wikipedia , hab ich ja nur eine Variable. Ich laufe also auf einer Koordinatenachse entlang. Was ist aber wenn ich z.B. 2 Variablen habe, dann bekomme ich ja ein Gitter. Wie soll ich da jetzt meine Gleichungen aufstellen ? |
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| 30.01.2013, 00:07 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja genau. Wie sieht die zweite Ableitung denn in diesem Fall aus? Aus der kannst du dann auch wieder Differenzenquotienten ableiten. |
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| 30.01.2013, 00:15 | blurry | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hab gerade gesehen in diesem Fall wird oft mit Laplace Operator gearbeitet . Dieser ist die Summe aus x-Ableitung und y-Ableitung. Aber was bedeutet das eigentlich. Wozu ist er nützlich ?? |
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| 30.01.2013, 00:57 | blurry | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was soll ich eigentlich in diesem Fall machen. Funktion d x dx ok das ist die 2.ableitung , kein Problem, Differenzquotient bekannt aber Funktion dx dy . jetzt hab ich einmal den Differenzquotient nach x und einmal nach y. Wie kann ich beide kombinieren ?? |
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| 30.01.2013, 16:13 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wo bitte taucht im Laplaceoperator dxdy auf? |
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