Konvergenz einer Folgen nachweisen durch Beschränktheit

29.01.2013, 15:20

SebReja

Konvergenz einer Folgen nachweisen durch Beschränktheit

Meine Frage:
Hallo liebe Community,
seit gestern suche ich schon in diversen Foren nach einem halbwegs guten Lösungsansatz.
Ich habe folgende Aufgabenstellung:

Gegeben sei die Zahlenfolge a_{n} =\sum\limits_{k=n+1}^2n \frac{1}{k} .
Zeigen Sie, dass \left[(a_{n})\right]_{n=1}^{\infty } konvergent ist, indem Sie direkt nachweisen:
a) \left[(a_{n})\right]_{n=1}^{\infty } ist monoton steigend.
b) \left[(a_{n})\right]_{n=1}^{\infty } ist nach oben beschränkt.

Fragen: Welche Lösungsansätze habe ich hier? Wie muss ich prinzipiell an solche Aufgaben rangehen?

Meine Ideen:
Zu a):
Das Monotonie-Verhalten habe ich bewiesen, indem ich a_{1} < a_{2} < a_{3} nachweise, zum Beispiel mithilfe der "Vollständigen Induktion".

Zu b):
Auch hier habe ich es mit der "Vollständigen Induktion" versucht, jedoch ist mir dann aufgefallen, dass der Startpunkt der Summe mir hier gewisse Probleme bereitet.
Die zweite Idee war hier der Limes. Die Überlegung war, da die Folge stetig ist, den Limes in die Summe reinzuziehen. Ins stocken komme ich hier jedoch wieder beim Summenzeichen.

29.01.2013, 15:24

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Folgen nachweisen durch Beschränktheit
Induktion brauchst du hier gar nicht.
In a) nimm dir irgendein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und zeige direkt $\begin{eqnarray*} a_n\leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ .
In b) schätze in $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , alle Summanden nach oben durch etwas passendes ab, so dass du $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nach oben durch eine Konstante abschätzen kannst.

29.01.2013, 15:32

SebReja

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Folgen nachweisen durch Beschränktheit
Aufgabenteil a) habe ich bereits genau so gelöst.

Das mit dem Abschätzen habe ich iwie nicht ganz verstanden... Wie müsste ich es denn Aufschreiben?

Ich meine klar ist, dass 0 < 1/k < 1 ist und somit gehe ich einfach mal davon aus, dass wenn man immer kleinere Zahlen auf eine Zahl addiert, die immer kleiner als 1 ist, die 1 also eine Schranke sein könnte, was mir der Plotter ja auch bestätigt.

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich es schriftlich auf Papier festhalten kann.

Und nat Danke für die schnelle Antwort.

29.01.2013, 15:38

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Folgen nachweisen durch Beschränktheit

Zitat:

Original von SebReja
Ich meine klar ist, dass 0 < 1/k < 1 ist

Für $\begin{eqnarray*} k\in\{n+1,\dotsc,2n\} \end{eqnarray*}$ kann man aber eine bessere obere Schranke finden.
D.h. man kann diese Summanden alle nach oben durch den größten von ihnen abschätzen.

Zitat:

und somit gehe ich einfach mal davon aus, dass wenn man immer kleinere Zahlen auf eine Zahl addiert, die immer kleiner als 1 ist, die 1 also eine Schranke sein könnte, was mir der Plotter ja auch bestätigt.

Hm, das hört sich nicht so gut an. Wenn man einfach alle Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac1k \end{eqnarray*}$ addieren würde, also nicht bei $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ anfängt, dann wäre die Folge unbeschränkt, d.h. $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1k \end{eqnarray*}$ existiert nicht.

29.01.2013, 15:56

SebReja

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Folgen nachweisen durch Beschränktheit
Achso, also schaue mir jetzt erstmal die gegebene Folge an, also:

$\begin{eqnarray*} <br /> a_{1} = \frac{1}{2} ; a_{2} = \frac{7}{12} ; a_{3} = \frac{37}{60} ; ... ; a_{8} = \frac{95549}{144144}<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt baue ich mir eine Folge, die diese Werte immer übersteigt, also größer ist, sodass ich in dieser Folge irgendwann eine Zahl bekomme, die die Grenze darstellt, richtig?

So passt zum Beispiel auf die ersten beiden Glieder der Folge a die Zahl 0.6, bzw. 3/5
und darüber hinaus würde 7/10 passen. Auf diese Weise hätte ich die Grenze 0.7 oder eben 7/10.

Wie kann ich denn diese Lösung mathematisch korrekt aufschreiben?

Danke für die schnellen Antworten!

29.01.2013, 16:55

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Folgen nachweisen durch Beschränktheit
Ich weiß nicht, was du da vorhast...

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von SebReja
Ich meine klar ist, dass 0 < 1/k < 1 ist

Wie lautet denn der größte Summand der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k \end{eqnarray*}$ ?

Wahnwitzige Aktionen, wie $\begin{eqnarray*} a_8 \end{eqnarray*}$ auszurechnen, bringen dich hier keineswegs weiter.

29.01.2013, 17:27

SebReja

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Folgen nachweisen durch Beschränktheit
das größte Summand wäre ja dann 1/2n, oder nicht?

29.01.2013, 17:41

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Folgen nachweisen durch Beschränktheit
Nein, das ist der kleinste.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz einer Folgen nachweisen durch Beschränktheit

Verwandte Themen