Quotientenkriterium, harmonische Reihe

29.01.2013, 19:43	chüchüchü	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenkriterium, harmonische Reihe Meine Frage: Moin, wahrscheinlich habe ich irgendetwas übersehen, aber das Quotientenkriterium für die Konvergenz von Reihen lautet ja $\begin{eqnarray} \|a_{n+1}\| \leq t\|a_{n} \| \Rightarrow \| \frac{a_{n+1} }{a_{n} } \| \leq t \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} 0\leq t<1 \end{eqnarray}$ . Dann konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^i a_{n} \end{eqnarray}$ absolut. Aber müsste nach diesem Kriterium nicht auch die harmonische Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ konvergieren? Weil das nächste Folgenglied ja immer kleiner ist als das vorherige, somit ist der Quotient immer < 1.. ? Was mir außerdem nicht ganz klar ist: Das Kriterium sagt doch, soweit ich es bis jetzt verstanden habe, eigentlich nur aus, dass die Folge der Absolutbeträge monoton fällt, oder? Was ist jetzt das Besondere dabei? Meine Ideen: hmm..
29.01.2013, 19:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quotientenkriterium, harmonische Reihe Die Voraussetzung ist nicht, dass $\begin{eqnarray} \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert \end{eqnarray}$ immer kleiner als Eins bleibt bzw. die Beträge fallen. Es soll sogar eine Konstante kleiner als Eins geben, die nie überschritten wird. Das bedeutet anschaulich, dass die Beträge der Summanden nicht nur fallen, sondern auch sehr schnell – so schnell, dass immer mindestens der Faktor $\begin{eqnarray} t<1 \end{eqnarray}$ hinzukommt. Bei der harmonischen Reihe kommt $\begin{eqnarray} \frac k{k+1} \end{eqnarray}$ für genügend großes $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ beliebig nahe an die Eins, d.h. es gibt kein $\begin{eqnarray} t<1 \end{eqnarray}$ , dass diesen Quotienten nach oben beschränkt.

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