lineare Abbildung + Dimension des Kerns und Bildes

29.01.2013, 20:05

Hansiii

lineare Abbildung + Dimension des Kerns und Bildes

Hallo, folgende Aufgabe möchte ich lösen.

a) überprüfe ob lineare Abbildung
b) Begründung
c)wenn lin. Abb. dann Dimension des Kern und Bildes

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{3} \rightarrow \mathbb R^{3}, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}(x-y) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}(x+y) \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

OK, ich stehe gerade aufn Schlauch.
Eine lin. Abb. ist es, da ich es mit $\begin{eqnarray*} f(\overrightarrow x + \overrightarrow y) = f(\overrightarrow x) + f( \overrightarrow y) \end{eqnarray*}$ bewiesen habe.

Das Problem ist jetzt der Kern und das Bild.

29.01.2013, 20:08

lgrizu

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RE: lineare Abbildung + Dimension des Kerns und Bildes
Der Kern ist die Menge der Vektoren, die auf die 0 abgebildet werden, also wie bereits aus der Schule Bekannt $\begin{eqnarray*} f( \vec{x})=0 \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

29.01.2013, 20:20

Hansiii

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RE: lineare Abbildung + Dimension des Kerns und Bildes

Zitat:

Original von lgrizu
Der Kern ist die Menge der Vektoren, die auf die 0 abgebildet werden, also wie bereits aus der Schule Bekannt $\begin{eqnarray*} f( \vec{x})=0 \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

Nun dann ist x= 0 und y=0. Also ist der Kern=span{(0,0,z)} ?

29.01.2013, 20:35

lgrizu

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RE: lineare Abbildung + Dimension des Kerns und Bildes
Ja, also ist die Dimension welche?

29.01.2013, 20:40

Che Netzer

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RE: lineare Abbildung + Dimension des Kerns und Bildes

Zitat:

Original von Hansiii
Eine lin. Abb. ist es, da ich es mit $\begin{eqnarray*} f(\overrightarrow x + \overrightarrow y) = f(\overrightarrow x) + f( \overrightarrow y) \end{eqnarray*}$ bewiesen habe.

Das genügt aber nicht.

29.01.2013, 21:26

Hansiii

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RE: lineare Abbildung + Dimension des Kerns und Bildes

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Hansiii
Eine lin. Abb. ist es, da ich es mit $\begin{eqnarray*} f(\overrightarrow x + \overrightarrow y) = f(\overrightarrow x) + f( \overrightarrow y) \end{eqnarray*}$ bewiesen habe.

Das genügt aber nicht.

und lf(x) = f(lx)

Zitat:

Original von lgrizu
Ja, also ist die Dimension welche?

30.01.2013, 08:46

lgrizu

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RE: lineare Abbildung + Dimension des Kerns und Bildes
Jap, stimmt beides.

Nun noch die Dimension des Bildes, kann man einfach mit dem Dimansionssatz bestimmen....

30.01.2013, 12:07

Hansiii

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3 = 1 + "2"

Also hat das Bild die Dimension 2?

30.01.2013, 12:17

lgrizu

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Jap.

30.01.2013, 13:53

Hansiii

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um mal meine Vorgehensweise zu erläutern:

Ich habe erst die Koeffizientenmatrix aufgestellt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{ \sqrt(2)} & -\frac{1}{ \sqrt(2)} & 0 \\ \frac{1}{ \sqrt(2)} & \frac{1}{ \sqrt(2)} & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus x, y, z berechnet.

Die Dimension es Urbilds ist 3 weil R^3? Was ist die Bedeutung der lin. unabh. Zeilen? Rang = dim(Bild)? Stand in einem anderen Forum:

dim(Kern(A)) = dim(Urbild-Vektorraum) - dim(Rang(A))

Der Kern hat ja nur einen Vektor und x=0 und y=0, damit Dim = 1.

Die Dimension des Bildes errechnet sich durch den Dimensionssatz.

richtig?

30.01.2013, 15:48

lgrizu

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kann man so machen, allerdings sieht man bei deiner Abbildung auch sofort (letzte Zeile), dass gilt x=y=0 (für den Kern), und dass z beliebig wählbar ist, taucht ja im Bildvektor gar nicht auf....

Aber insgesamt richtig.

06.02.2013, 16:14

lgrizu

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Ich habe für die neue Aufgabe auch einen neuen Thread eröffnet, bitte handhabe das in Zukunft auch so.....

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