Reihe auf Konvergenz untersuchen

30.01.2013, 11:45

steviehawk

Reihe auf Konvergenz untersuchen

Meine Frage:
Ich habe hier die Reihe, die mir Kopfschmerzen bereitet, hat jemand einen Tipp?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (1-\frac{1}{\sqrt{n} } )^n \end{eqnarray*}$

Erst dachte ich ich könnte mit Bernoulli nach unten abschätzen, die Reihe konvergiert aber, also bringt das nichts.

Ich denke ich muss irgendwie mit dem Grenzwert: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n} )^n = e \end{eqnarray*}$ arbeiten, weiß aber nicht so richtig wie????

Meine Ideen:
Danke!

Edit. Jetzt habe ich gesehen, dass da die geometrische Reihe drin steckt. Ich kann ja zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} | (1-\frac{1}{\sqrt{n} } )| \leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle n. dann hätte ich es.

30.01.2013, 11:56

shipwater

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Es ist aber auch $\begin{eqnarray*} \left|1-\frac{1}{n}\right|<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und trotzdem divergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left(1-\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n \xrightarrow{n \to \infty} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$
Du musst also anders argumentieren. Hast du weitere Ideen?

Gruß Shipwater

30.01.2013, 14:54

steviehawk

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Das verwirrt mich jetzt total, ich dachte die geometrische Reihe konvergiert immer für
$\begin{eqnarray*} |q| < 1 \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty q^n \end{eqnarray*}$ gilt das jetzt nicht mehr?

Dann muss es wohl über eine Abschätzung laufen!

30.01.2013, 15:00

Mazze

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Zitat:

Das verwirrt mich jetzt total, ich dachte die geometrische Reihe konvergiert immer für

Tut sie auch, allerdings ist q eine Konstante während bei deiner Reihe die Basis vom Laufindex abhängt.

p.s.: Die geometrische Reihe geht von 0 los.

30.01.2013, 15:03

steviehawk

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ah okay, dann verstehe ich!

Aber ich hab noch keine Idee für die Reihe Hammer

30.01.2013, 20:52

Jello Biafra

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Da die gängigen Konvergenzkriterien hier so ohne Weiteres nicht ziehen, muss wohl ne Abschätzung her.
Diese hier z.B.:

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac 1{\sqrt{n}}\right)^n\leq \frac{e}{n^2}\text{ für alle }n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

täte es.

Eine elegante Herleitung dafür kann ich momentan allerdings nicht bieten.
Vielleicht hat ja irgendwer noch ne bessere Idee...

30.01.2013, 21:07

Che Netzer

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Zitat:

Original von shipwater
$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n \xrightarrow{n \to \infty} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Monoton steigend, oder?

30.01.2013, 21:11

Ungewiss

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Hi,

mit der Abschätzung sollte man auf ein ähnliches, wenn auch nicht ganz so rundes, Ergebnis kommen, wie Jello Biafra es vorgeschlagen hat

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n=\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n}\leq\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}n^{-\frac 32}} \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 22:05

HAL 9000

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Wobei man es im Zähler auch einfacher haben kann, d.h. man schätzt für $\begin{eqnarray*} n\geq k \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n = \frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n} \leq \frac{1}{\binom{n}{k}n^{-\frac{k}{2}}} \end{eqnarray*}$

ab, bei dir mit $\begin{eqnarray*} k=3 \end{eqnarray*}$ , bei Jello Biafra mit $\begin{eqnarray*} k=4 \end{eqnarray*}$ (allerdings da mit einer anderen Konstante C statt e).

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