Wie lautet die stetige Ergänzung ?

30.01.2013, 15:21

Elvandy100

Wie lautet die stetige Ergänzung ?

Hi,

habe folgende Aufgabe die ich grade versucht habe zu berechnen.

Wie lautet die stetige Ergänzung der Funktion $\begin{eqnarray*} y = \frac{x^3 + 3x^2 - 9x -27 }{x^2 - 9} \end{eqnarray*}$ an der Stelle x0=3 ?

Habe das schon länger nicht mehr gemacht aber ungefair müsste das so gehen :

1. Also die Nullstellen des Nenners und Zählers sind $\begin{eqnarray*} x 1 = 3 ; x2 = -3<br /> \end{eqnarray*}$

2. Habe den Zähler mit dem Hornerschema auf die gleiche Ordnung wie den Nenner gebracht = $\begin{eqnarray*} x^2 + 6x + 9 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} y = \frac{x^2 + 6x + 9 }{x^2 - 9} \end{eqnarray*}$ und habe sie in ihre Linearfaktoren zerlegt $\begin{eqnarray*} y = \frac{(x +3)(x-3) }{(x +3)(x-3)} \end{eqnarray*}$

4. Danach habe ich das gekürzt $\begin{eqnarray*} y = \frac{x-3}{x-3} \end{eqnarray*}$ und dann wusste ich nicht mehr so genau was ich machen muss. Habe aber gesehen das $\begin{eqnarray*} x = -3 \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle von Nenner ist also habe ich das für x eingesetzt.

5. Habe dann $\begin{eqnarray*} y = \frac{0 }{-6} \end{eqnarray*}$

Bedeutet das dann das meine stetige Ergänzung für $\begin{eqnarray*} x = -3 => 0 \end{eqnarray*}$ ist lautet ?

30.01.2013, 16:06

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wie lautet die stetige Ergänzung ?

Zitat:

Original von Elvandy100
Hi,

habe folgende Aufgabe die ich grade versucht habe zu berechnen.

Wie lautet die stetige Ergänzung der Funktion $\begin{eqnarray*} y = \frac{x^3 + 3x^2 - 9x -27 }{x^2 - 9} \end{eqnarray*}$ an der Stelle x0=3 ?

Habe das schon länger nicht mehr gemacht aber ungefair müsste das so gehen :

1. Also die Nullstellen des Nenners und Zählers sind $\begin{eqnarray*} x 1 = 3 ; x2 = -3<br /> \end{eqnarray*}$

2. Habe den Zähler mit dem Hornerschema auf die gleiche Ordnung wie den Nenner gebracht = $\begin{eqnarray*} x^2 + 6x + 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac {(x-3)(x+3)^2}{(x-3)(x+3)}\quad x\in \mathbb R \backslash \{-3,3\} \end{eqnarray*}$

Danach kannst du die Lücke für x=3 per Definition wieder schliessen.

mit (x+3) kannst du auch kürzen, die Lücke soll aber bleiben.

30.01.2013, 16:37

Elvandy100

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist alles quatsch was ich nach meinem ersten Schritt gemacht habe ?

Aber wüsste jetzt gar nicht wie ich weiter machen soll .

30.01.2013, 16:53

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ich konnte es nicht nachvollziehen.

$\begin{eqnarray*} y=\frac {(x-3)(x+3)^2}{(x-3)(x+3)}\quad x\in \mathbb R \backslash \{-3,3\} \end{eqnarray*}$

Das ist die Ausgangslage. Mit Kürzen:

$\begin{eqnarray*} y=x+3 \quad x\in \mathbb R \backslash \{-3,3\} \end{eqnarray*}$

also noch nichts passiert!

obige Funktion hat bei x=3 eine Lücke (*), der Funktionswert y(3)=6 fehlt! Aber der soll stetig ergänzt werden, demnach:

y= x+3 , mit einem neuen Definitionsbereich. Wie lautet dieser ?

-----------------
(*) natürlich auch bei x=-3, diese soll aber nicht geschlossen ( stetig ergänzt ) werden.

30.01.2013, 17:06

Elvandy100

Auf diesen Beitrag antworten »

Aso ok das mit dem Hornerschme war natürlich falsch.

Also irgendwie stehe ich grade auf dem Schlauch aber der Definitionsberreicht ist doch jetzt { $\begin{eqnarray*} {x \in \mathbb R} \end{eqnarray*}$ } weil es darf ja alles rauskommen also ach 0. Ist ja nicht so wie mein Bruch das der Nenner nicht 0 sein darf.

30.01.2013, 17:31

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dein Definitionsbereich ist nach wie vor $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash\{-3,3\} \end{eqnarray*}$

( sonst hättest du nicht kürzen dürfen !! )

Die ursprünliche Funktion ist eine schlichte Gerade, der die Punkte (-3,0) und (3,6) fehlen.

Jetzt fügst du den Punkt ( 3,6) einfach hinzu, indem du $\begin{eqnarray*} \{3\} \end{eqnarray*}$ zur Definitionsmenge hinzufügst.

Jetzt verständlich ?

30.01.2013, 18:00

Elvandy100

Auf diesen Beitrag antworten »

Bin mir noch nicht so sicher also würde das heißen das meine Funktion für alle $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$ stetig ergänzbar ist außer für $\begin{eqnarray*} {3 \ -3} \end{eqnarray*}$ ?

wär das das Ergebnis was von mir verlangt ist ?

Ich glaube ich habe einfach noch nicht das ziel einer stetigen Ergänzung verstanden was man damit zeigen/erreichen will ?

Habe aiuh kaum was in meinem Skript darüber gefunden oder in unserer Aufgabensammlung.

Da wird meistens nur nach einem Pol, Lücke, NST gesucht etc.

30.01.2013, 18:20

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvandy100
Bin mir noch nicht so sicher also würde das heißen das meine Funktion für alle $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$ stetig ergänzbar ist außer für $\begin{eqnarray*} {3 \ -3} \end{eqnarray*}$ ?

anderstherum. Gerade für x=3 und x=-3 könnte man stetig ergänzen, da Löcher vorliegen.

Alle anderen x-Werte sind ja schon definiert.

Die Aufgabe sagt, dass du nur das Loch (3,6) schliessen sollst, das Andere nicht.

-------------------------------

hier ein Gegenbeispiel: die Lücke und Unstetigkeit von $\begin{eqnarray*} y=\frac 1 x , x\neq0 \end{eqnarray*}$ kannst du nicht stetig schliessen. Du könntest zwar einen willkührlichen Punkt setzen z.B.

$\begin{eqnarray*} y= \begin{cases} \frac 1 x & x \neq 0 \\ 52.676 & x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

aber das Ganze bleibt immer noch unstetig an der Stelle x=0

30.01.2013, 18:28

Elvandy100

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok also mein Ergebnis andersrum aber wie soll man das den als Endergebnis aufschreiben.

Ist das in der art wie du das unten geschrieben hast ?

30.01.2013, 18:37

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

da es stetig ergänzbar ist, ist hier keine Teildefinition nötig. Es genügt:

$\begin{eqnarray*} y(x)=x+3 \quad x\in \mathbb R \backslash \{-3\} \end{eqnarray*}$

damit ist (3,6) "gestopft" und (-3,0) bleibt als Loch. ( laxe Ausdrucksweise )

Neue Frage »

Antworten »

Wie lautet die stetige Ergänzung ?

Verwandte Themen