Alle x aus IR bestimmen für die eine Reihe absolut Konvergent ist

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30.01.2013, 15:22	MatheProfalaCart	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle x aus IR bestimmen für die eine Reihe absolut Konvergent ist Meine Frage: HalliHallo, ich hab mal wieder eine Frage : Gegeben sei folgende Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{2} x^{2} - 3)^{k} \end{eqnarray}$ Die Aufgabenstellung lautet: Bestimmen sie mit Beweis alle x aus $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , für die die Reihe absolut Konvergent ist und geben sie für diese x den Wert der Reihe an. Meine Ideen: Ich hab natürlich mal wieder kaum Ideen. Ich würde hier mit dem Wurzelkriterium anfangen, allerdings weiß ich nicht, wie ich es benutzen soll, da die Reihe scheinbar ja nicht für alle x konvergent ist. Stumpfes einsetzen dauert mir zu lange, weil das eine Klausuraufgabe ist und ich dafür dann nicht genügend Zeit habe.. Für Lösungshilfen bin ich sehr dankbar
30.01.2013, 15:31	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle x aus IR bestimmen für die eine Reihe absolut Konvergent ist Hallo, schau dir mal die Definition der geometrischen Reihe an und schau, wie dir das hier weiter hilft.
30.01.2013, 15:44	MatheProfalaCart	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle x aus IR bestimmen für die eine Reihe absolut Konvergent ist ok also die Reihe ist ja so gut wie eine geometrische reihe..das 1/2 kann ich als faktor stehen lassen aber wie bekomme ich die 3 da weg? dann könnte man per definition sagen, dass die reihe für alle \|x\|<1 konvergent ist..
30.01.2013, 15:53	MatheProfalaCart	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle x aus IR bestimmen für die eine Reihe absolut Konvergent ist oder ist die reihe als solches schon geometrische reihe??
30.01.2013, 18:03	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle x aus IR bestimmen für die eine Reihe absolut Konvergent ist ja das ist schon eine geometrische Reihe. Die hat die Form: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty q^k \end{eqnarray}$ (wie du ja nun weist) und konvergiert für $\begin{eqnarray} \|q\|<1 \end{eqnarray}$ . Was ist dann in deinem Fall das q?
30.01.2013, 18:39	MatheProfalaCart	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle x aus IR bestimmen für die eine Reihe absolut Konvergent ist ja danke für die hilfe! ich hab jetzt als q: 1/2 * x^2 - 3 durch umformung erhalte ich dass jedes x < wurzel 2 und der wert dieses x ist dann wohl 1/3 ist das richtig?
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30.01.2013, 18:56	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle x aus IR bestimmen für die eine Reihe absolut Konvergent ist Für $\begin{eqnarray} x=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ als Grenzwert richtig und das ist auch ein mögliches x. Allerdings gibt es zwei Intervalle von werten für x, sodass $\begin{eqnarray} \|q\|<1 \end{eqnarray}$ erfüllt ist.
30.01.2013, 19:15	Gasti1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Delorios für x = sqrt(2) divergiert die Reihe aber sowas von! MatheProfalaCart überprüfe nochmal deine Abschätzung.
30.01.2013, 19:23	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja sorry, Intervalle richtig lesen müsste man können.
30.01.2013, 19:33	MatheProfalaCart	Auf diesen Beitrag antworten »
was ist denn an $\begin{eqnarray} x < \sqrt{2} \end{eqnarray}$ falsch? Ich hab jetzt $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x^{2}-3 < 1 \end{eqnarray}$ einfach umgeformt.. edit: ach moment es muss heißen $\begin{eqnarray} \|\frac{1}{2}x^{2}-3\| < 1 \end{eqnarray}$ , da gibts bestimmt was mit dreiecksungleichung..
30.01.2013, 19:39	Gasti1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Umformung ist falsch und die Dreiecksungleichung brauchst du eigentlich nicht.
30.01.2013, 19:50	MatheProfalaCart	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh ok ja mein fehler, hab das mit 1/2 geteilt durch falsch gemacht also $\begin{eqnarray} x<2\sqrt{2} \end{eqnarray}$ jetzt hab ich das bei wolfram eingeben und er zeigt mir an $\begin{eqnarray} -2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2} \end{eqnarray}$ was genau bedeutet dass $\begin{eqnarray} -2\sqrt{2} \end{eqnarray}$ ?
30.01.2013, 19:57	Gasti1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Überleg doch mal warum gerade -2sqrt(2) rauskommt (Tipp: Quadrat). Die untere Grenze ist trotzdem falsch.
30.01.2013, 20:46	MatheProfalaCart	Auf diesen Beitrag antworten »
also bei wolfram kommt heraus: $\begin{eqnarray} -2\sqrt{2} < x < 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2 < x < 2\sqrt{2} \end{eqnarray}$ ja das mit dem -2 wurzel 2 liegt wohl daran, wenn man es quadriert wird das minus wieder zu plus? und bei den anderen sachen versteh ich das überhaupt nicht, wenn ichs täte würd ich nicht bei wolfram gucken wäre super wenn mir das einer kurz erklären könnte
30.01.2013, 20:52	Gasti1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann spiel doch mal ein wenig mit der Reihe dann wirst du schnell merken, dass du dein x gerade so wählen musst: sqrt(2) < x < sqrt(8). Wenn du eine ausführliche Erklärung möchtest, dann frag doch mal deinen Tutor.
30.01.2013, 21:05	MatheProfalaCart	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar vielen dank für die hilfe

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