Vektoren mit LGS und Gauß ermitteln

30.01.2013, 15:18

Seehasenohr89

Vektoren mit LGS und Gauß ermitteln

Meine Frage:
Morgen schreibe ich eine Klausur und bin dabei Aufgaben aus älteren Klausuren durchzurechnen. Habe aber leider keine Musterkösungen dafür. Ich selbst bin kein Mathematiker sondern Informatiker und nich wirklich gut in linearer Algebra.
Folgende Aufgabe wird in der einen Klausur gestellt und ich bekomme sie nicht gelöst.

Ich habe eine Ebene $\begin{eqnarray*} r = t_{1} * a_{1} + t_{2} * a_{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben.
Nun soll ich mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems alle Vektoren ermitteln, welche senkrecht auf der Ebene stehen. Dafür soll ich den Gauß-Algorithmus verwenden.

Meine Ideen:
Über Kreuzprodukt habe ich erstmal den Vektor ermittelt, den ich überhaupt suche: $\begin{eqnarray*} a_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und natürlich jedes vielfache davon.
Gelernt haben wir Gauß auf folgende weise aufzuschreiben: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & | & 0 \\ 1 & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Jetzt 1 Zeile von der 3. Zeile abziehen, 3. Zeile mit -1 multiplizieren und schließlich 2x die 3. Zeile von der ersten abziehen.
Dann sieht das ganze dann so aus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
was meiner Ansicht bedeutet das der gesuchte Vektor so aussehen müsste: $\begin{eqnarray*} a_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ ? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder?
Aber was ist dann der letzte Wert, wo kommt der her? Das ist außerdem nicht das was ich über Kreuzprodukt errechnet habe!
Oder ist der ganze Ansatz falsch?

Bitte brauch schnelle Hilfe!

30.01.2013, 16:39

Dopap

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RE: Vektoren mit LGS und Gauß ermitteln

Zitat:

Original von Seehasenohr89
Meine Frage:
Morgen schreibe ich eine Klausur und bin dabei Aufgaben aus älteren Klausuren durchzurechnen. Habe aber leider keine Musterkösungen dafür. Ich selbst bin kein Mathematiker sondern Informatiker und nich wirklich gut in linearer Algebra.
Folgende Aufgabe wird in der einen Klausur gestellt und ich bekomme sie nicht gelöst.

Ich habe eine Ebene $\begin{eqnarray*} r = t_{1} * a_{1} + t_{2} * a_{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben.
Nun soll ich mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems alle Vektoren ermitteln, welche senkrecht auf der Ebene stehen. Dafür soll ich den Gauß-Algorithmus verwenden.

also: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

deine Vektoren werden jetzt Zeilen in einer erweiterten (2,4)- Matrix!

30.01.2013, 17:04

Seehasenohr89

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Du meinst also ich sollte das so $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 0 \\ 2 & 0 & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben?
Dann forme ich das um und erhalte damit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Daraus ergäbe sich dann $\begin{eqnarray*} n_1 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_3 = 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ n_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} n_2 \end{eqnarray*}$ was zu meinem Ergebniss aus dem Kreuzprodukt passen würde.
Danke für die Hilfe!

30.01.2013, 17:30

Dopap

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ja, richtig Freude

und n2 ist frei wählbar

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