Stichprobenumfang Binomialverteiling (Ungleichung lösen)

30.01.2013, 18:40	Binomikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichprobenumfang Binomialverteiling (Ungleichung lösen) Meine Frage: Hallo, ich suche den mindest-Stichprobenumfang um bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 22% mit einer Sicherheit von 95% mindestens 2 Erfolge zu erzielen. Meine Ideen: Ich berechne also $\begin{eqnarray} P(X\geq 2) = 1-P(X\leq 1) = 1 -(P(X=0)+P(X=1)) \end{eqnarray}$ . Das führt dann über $\begin{eqnarray} P(X=0)+P(X=1)=\binom{n}{0}\cdot 0,22^0 \cdot 0,78^n + \binom{n}{1}\cdot 0,22^1 \cdot 0,78^{n-1} \end{eqnarray}$ zu: $\begin{eqnarray} 0,22n\cdot 0,78^{n-1}+0,78^n \leq 0,05 \end{eqnarray}$ Ab hier weiß ich allerdings nicht mehr weiter. Logarithmieren bringt mir ja erstmal nichts, weil ich dann $\begin{eqnarray} \log_{0,78}{(n)} \end{eqnarray}$ da stehen hätte. Hat jemand einen Anstaz für mich?
30.01.2013, 19:26	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich seh auch keinen Ansatz. Es darf ja auf ganze n gerundet werden. Mit numerischer Nullstelle geht das schon. oder mit binomcdf ( Ti-84 ) Tabelle erstellen.
30.01.2013, 19:28	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du könntest die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren: $\begin{eqnarray} P(X \leq 1) = \phi \Bigg( \frac{x+0.5-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}} \Bigg) \leq 0,05 \end{eqnarray}$ Du weißt dann natürlich nicht, ob die Voraussetzung gegeben ist. Aber wenn du einen Wert für n hast, dann bist du schon sehr nah dran. Den Wert kannst du dann in die Binomialverteilung einsetzten und siehst dann, ob du drüber oder drunter liegst. Dementsprechend kannst du dann n anpassen. Grüße.
30.01.2013, 21:20	Binomikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, vielen Dank für die schnellen Antworten! Ich wollte es eigentlich "zu Fuß" lösen, aber ich sehe ein, dass ich den Rechner benutzen muss... Danke trotzdem und bis bald.
30.01.2013, 21:36	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
@Binomikus Bei meiner Vorgehensweise kann man es auch zu Fuß lösen.
30.01.2013, 22:53	Binomikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, so gesehen hast Du recht. Auch wenn einen das Integral der Normalverteilung schon abschreckt . Wenn ich ehrlich bin hat es mich eigentlich mehr gestört so eine "simple" Ungleichung nicht lösen zu können als das Ergebnis nicht so einfach zu bekommen. Die sieht doch eigentlich harmlos aus...
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30.01.2013, 22:59	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Normalverteilungstabelle wirst du schon nachschauen müssen. Den Versuch des Lösens des Integrals der Normalverteilung würde ich lieber lassen.

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