Monotone Folgen (Aufgabe)

30.01.2013, 18:49

steviehawk

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Monotone Folgen (Aufgabe)

Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe hier eine Aufgabe, wo wohl noch ein letzter Schritt fehlt.

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine monoton steigende Folge auf $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} a_{2n} - a_n \geq \epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie, dass dann:

$\begin{eqnarray*} a_{2^n} \geq 1 + n\epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich hab mir das so gedacht:

Da auf $\begin{eqnarray*} [0, \infty) \end{eqnarray*}$ monoton steigt ist 1 der kleinste Wert den die Glieder annehmen können. Es gilt auch $\begin{eqnarray*} a_{2^n} \geq a_{2n} \end{eqnarray*}$ wegen der Monotonie und $\begin{eqnarray*} 2^n \geq 2n \end{eqnarray*}$ . Also habe ich:

$\begin{eqnarray*} a_{2^n} \geq a_{2n} \geq a_n + \epsilon \geq 1+ \epsilon \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist jetzt, wie ich dieses n darein bekommen könnte vor das Epsilon??

Danke!

Edit: Ich könnte doch O.b.d.A $\begin{eqnarray*} \epsilon < 1 \end{eqnarray*}$ wählen, dann könnte ich noch $\begin{eqnarray*} 1+ \epsilon \geq 1 + n \epsilon \end{eqnarray*}$ abschätzen oder?

30.01.2013, 19:56

Che Netzer

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
Stell bitte sicher, dass du die Aufgabenstellung vollständig und korrekt abgeschrieben hast...

30.01.2013, 20:07

steviehawk

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
Okay, hab das Intervall verbessert, da muss 1 nicht 0 stehen. Aber sonst ist es genau so in der Übung. Leider habe ich keine Lösung dazu.

30.01.2013, 20:09

Che Netzer

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
Die zu zeigende Aussage ist doch aber auch noch falsch, oder?

30.01.2013, 20:15

steviehawk

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
Die Aufgabenstellung lässt vermuten, dass es wohl stimmt.

30.01.2013, 20:17

Che Netzer

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
Ach, und was willst du dann mit einem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vor dem Epsilon?

Und nein, bisher stimmt die Aussage nicht.

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30.01.2013, 20:27

steviehawk

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
Oh mist, ich hatte das n noch vergessen, in der Aufgabenstellung.

30.01.2013, 20:35

Che Netzer

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
Na bitte. Dann können wir ja jetzt mit der Bearbeitung anfangen.

Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} 1+\varepsilon\geq1+n\varepsilon \end{eqnarray*}$ würde nur für negatives Epsilon gelten, mit der bisherigen Methode kommst du also nicht weiter.
Versuche es stattdessen mit einer Induktion.

30.01.2013, 21:45

steviehawk

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
Mh also wie fange ich denn da eine Induktion an? Gleich mit dem was ich zeigen soll und verwende dann das was Vorrausgesetzt ist?

$\begin{eqnarray*} a_{2n} - a_n \geq \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt ja offensichtlich bereits für alle n. Hier muss ich also nichts mehr mit Induktion machen.

z.z. $\begin{eqnarray*} a_{2^n} \geq 1+ n\epsilon \end{eqnarray*}$

n=1: $\begin{eqnarray*} a_{2} \geq 1 + 1\epsilon \geq a_1 + 1\epsilon \end{eqnarray*}$

wegen der Vorraussetzung gilt ja: $\begin{eqnarray*} a_2 \geq a_1 + \epsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt mal sehen, ob es auch für n+1 klappt.

30.01.2013, 21:53

Che Netzer

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
Die Induktion beginnst du aber bei $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ .
Die Aussage ist ja für alle $\begin{eqnarray*} n\geq0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen, nicht für $\begin{eqnarray*} n\geq1 \end{eqnarray*}$ .

30.01.2013, 21:59

steviehawk

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
oh stimmt. Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} a_{2^0} = a_{1} \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich war, da a monoton steigt und auf $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ definiert ist.

bei n+1 tue ich mir noch schwer.

$\begin{eqnarray*} a_{2^{n+1}} = a_{2^n\cdot2} \geq a_{2^n} \geq 1+n\epsilon \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich da mein n+1 wieder rein?

30.01.2013, 22:06

Che Netzer

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)

Zitat:

Original von steviehawk
oh stimmt. Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} a_{2^0} = a_{1} \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich war, da a monoton steigt und auf $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Die Monotonie kann dir hier egal sein.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_{2^n\cdot2} \geq a_{2^n} \end{eqnarray*}$

Die Abschätzung kannst du verbessern. Benutze die Voraussetzung (nicht die aus der Induktion)...

30.01.2013, 22:11

steviehawk

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
Irgendwie auch klar, dass ich die Vorraussetzung verwenden sollte, aber ist:

$\begin{eqnarray*} a_{2^n\cdot2} \geq a_{2n} - a_n \end{eqnarray*}$ ?

und was bringt das? dann lade ich ja direkt bei: $\begin{eqnarray*} a_{2^n\cdot2} \geq a_{2n} - a_n \geq \epsilon \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 22:13

Che Netzer

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)

Zitat:

Original von steviehawk
Irgendwie auch klar, dass ich die Vorraussetzung verwenden sollte, aber ist:

$\begin{eqnarray*} a_{2^n\cdot2} \geq a_{2n} - a_n \end{eqnarray*}$ ?

Wieso das denn?

30.01.2013, 22:15

steviehawk

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
naja war geraten traurig

traurig

30.01.2013, 22:18

Che Netzer

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
Dann überlege mal lieber, wie du $\begin{eqnarray*} a_{2\cdot(2^n)} \end{eqnarray*}$ sinnvoll nach unten abschätzen kannst Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.01.2013, 22:23

steviehawk

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
wie schon erwähnt ist ja $\begin{eqnarray*} 2^n \geq 2n \end{eqnarray*}$ da a_n monoton steigt gilt wohl:

$\begin{eqnarray*} a_{2^{n+1}} = a_{2^n\cdot2} \geq a_{2n} \geq a_n + \epsilon \end{eqnarray*}$

ich darf ja aber $\begin{eqnarray*} a_n \geq 1+n\epsilon \end{eqnarray*}$ noch nicht verwenden

30.01.2013, 22:27

Che Netzer

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)

Zitat:

Original von steviehawk
wie schon erwähnt ist ja $\begin{eqnarray*} 2^n \geq 2n \end{eqnarray*}$ da a_n monoton steigt gilt wohl:

$\begin{eqnarray*} a_{2^{n+1}} = a_{2^n\cdot2} \geq a_{2n} \geq a_n + \epsilon \end{eqnarray*}$

Das bringt dir aber nichts.
Schreibe mal alle Ungleichungen auf, die du in Bezug auf diese Folge kennst.

Zitat:

ich darf ja aber $\begin{eqnarray*} a_n \geq 1+n\epsilon \end{eqnarray*}$ noch nicht verwenden

Stimmt auch gar nicht...

30.01.2013, 22:33

steviehawk

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
1) $\begin{eqnarray*} a_{2n} - a_n \geq \epsilon \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} a_{2n} \geq a_n +\epsilon \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} a_1 \geq 1 \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_{n} \end{eqnarray*}$

5) $\begin{eqnarray*} a_{2^n} \geq a_{2n} \end{eqnarray*}$

30.01.2013, 22:41

Che Netzer

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)

Zitat:

Original von steviehawk
2) $\begin{eqnarray*} a_{2n} \geq a_n +\epsilon \end{eqnarray*}$

Diese ist die richtige, um $\begin{eqnarray*} a_{2(2^n)} \end{eqnarray*}$ abzuschätzen.

30.01.2013, 22:47

steviehawk

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
Okay, schwere Geburt aber ich glaube der Groschen ist gefallen.

$\begin{eqnarray*} a_{2^{n+1}} = a_{2(2^n)} \geq a_{2^n} + \epsilon \geq 1+n\epsilon + \epsilon = 1 + (n+1)\epsilon \end{eqnarray*}$

alles sauber aufschreiben und fertig?

Danke für die Geduld smile

smile

echt klasse!

30.01.2013, 22:50

Che Netzer

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RE: Monotone Folgen (Aufgabe)
Ja, jetzt fehlt nur noch das saubere Aufschreiben.

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