Komplexe Zahl vereinfachen - Seite 2

31.01.2013, 10:02	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann zu dem "allgemeinem" Lösungsweg über die Exponentialdarstellung (dieser Funktioniert im übrigen auch, wenn man eine Lösung nicht so schnell erkennen kann): 1. Schritt: $\begin{eqnarray} z^3=8 \end{eqnarray}$ , wir berechnen erst einmal den Betrag von $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ , also beschränken uns zuerst auf die rechte Seite, dieser ist, wie leicht zu sehen, $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ . 2.Schritt: Ausmultiplizieren des Betrages: $\begin{eqnarray} 8=8 \cdot (1+0 \cdot i) \end{eqnarray}$ 3. Schritt: Darstellen in Polarkoordinaten: Es ist $\begin{eqnarray} 8=8 \cdot (1+0 \cdot i)=8 \cdot ( \cos \phi + i \cdot \sin \phi) \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \sin \phi=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos \phi=1 \end{eqnarray}$ 4. Schritt: Berechnen der Wurzeln durch $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{r} \cdot \exp \left(i \cdot \frac{ \phi + 2k \pi}{n} \right)=\sqrt[n]{r} \cdot \left[ \cos \left( \frac{ \phi + 2k \pi}{n} \right) + i \cdot \sin \left( \frac{ \phi + 2k \pi}{n} \right) \right] \end{eqnarray}$ In unserem Fall ist $\begin{eqnarray} r=8 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k=0,1,2 \end{eqnarray}$ , im allgemeinen ist $\begin{eqnarray} k=0,1,2,...,(n-1) \end{eqnarray}$ Nun kann man einsetzen und erhält die Lösungen.
31.01.2013, 10:07	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich werde es gleich einmal veruschen. Und wieso kommen sie auf -2? Ist doch normalerweise dann -8? Oder betrachten sie den Betrag?
31.01.2013, 10:10	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Erts mal ist die Anrede im Board "du". Dann verstehe ich deine Frage nicht, wo komme ich wie auf -2? Bezieh dich bitte (im Zweifel anhand eines Zitats) auf genau die Stelle, die du meinst.
31.01.2013, 10:12	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine damit die Ersteller unserer Lösungsvorschläge . Auf dem Foto was ich hochgeladen habe steht:
31.01.2013, 10:33	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich frage mich auch, wie die auf nen Winkel von $\begin{eqnarray} \phi = \pi \end{eqnarray}$ kommen.... Die Lösung für die Glecihung $\begin{eqnarray} 8 \cdot (1+0i)=8 \cdot (\cos \phi + i \sin \phi) \end{eqnarray}$ liefert die Lösung $\begin{eqnarray} \phi=0 \end{eqnarray}$ ..... Also: $\begin{eqnarray} k=0 : \sqrt[3]{8} \cdot \left[ \cos 0 + i \cdot \sin 0 \right]=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=1 : \sqrt[3]{8} \cdot \left[ \cos \left( \frac{0+ 2 \pi}{3} \right) + i \cdot \sin \left( \frac{0+2 \pi}{3} \right) \right]=-1+ \sqrt{3}i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=2 : \sqrt[3]{8} \cdot \left[ \cos \left( \frac{0+ 4 \pi}{3} \right) + i \cdot \sin \left( \frac{0+4 \pi}{3} \right) \right]=-1-\sqrt{3}i \end{eqnarray}$ Und das stimmt mit unseren Ergebnissen überein: $\begin{eqnarray} z=2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} z^2+2z+4=0 \Rightarrow (z+1)^2=-3 \Rightarrow z=-1 \pm \sqrt{3} i \end{eqnarray}$ Also: Ein Fehler in der Bestimmung des Winkels in der Musterlösung.....

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