Baire'scher Kategoriesatz - Beispiele

30.01.2013, 19:36	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Baire'scher Kategoriesatz - Beispiele Meine Frage: Moin! Im Moment befasse ich mich ein bisschen mit dem Kategoriesatz von Baire. Ich würde gern zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ von erster Kategorie in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Zu zeigen ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}=\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}M_n \end{eqnarray}$ , wobei die $\begin{eqnarray} M_n \end{eqnarray}$ nirgends dichte Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sind. Ich würde dann einfach $\begin{eqnarray} M_n=\left\{\frac{1}{n}\right\} \end{eqnarray}$ vorschlagen, denn $\begin{eqnarray} \overline{M_n}=\left\{\frac{1}{n}\right\} \end{eqnarray}$ und der Abschluss enthält keine inneren Punkte, denn jede Umgebung, die man um $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ legt, ist nicht enthalten in $\begin{eqnarray} \overline{M} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \mbox{int}(\overline{M})=\emptyset \end{eqnarray}$ . Stimmt das so? Was gibt es noch so für Beispiele, wo man das mal nachprüfen könnte, um das ein bisschen zu verinnerlichen?
30.01.2013, 19:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Baire'scher Kategoriesatz - Beispiele Die Wahl der $\begin{eqnarray} M_n \end{eqnarray}$ ist zwar etwas fragwürdig, aber die Idee hört sich richtig an.
30.01.2013, 19:55	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Baire'scher Kategoriesatz - Beispiele Wie könnte man die $\begin{eqnarray} M_n \end{eqnarray}$ denn weniger fragwürdig wählen?
30.01.2013, 19:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Baire'scher Kategoriesatz - Beispiele Indem man eine Abzählung von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ verwendet. Bei dir wäre ja $\begin{eqnarray} \bigcup M_n=\left\{1,\frac12,\frac13,\frac14,\dotsc\right\} \end{eqnarray}$ .
30.01.2013, 20:03	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Baire'scher Kategoriesatz - Beispiele Du meinst $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}=\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}q_n \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} M_n=\left\{q_n\right\} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} n\mapsto q_n \end{eqnarray}$ eine Abzählung von $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ sei? Du hast Recht, mit meinen Mengen habe ich ja gar nicht ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ erwischt.
30.01.2013, 20:05	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Baire'scher Kategoriesatz - Beispiele In der Vereinigung fehlen zwar noch Mengenklammern, aber ja, so stimmt es.
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30.01.2013, 20:21	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Danke von Katze zu Katze.
30.01.2013, 20:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja, ich vergesse immer wieder, dass ich auch eine Katze im Avatar habe. Einmal war ich kurz davor, mich im Smalltalk-Thread zu wundern, dass hier so viele einen Katzenavatar haben

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