Reihe auf Konvergenz prüfen

31.01.2013, 10:40

antifx

Reihe auf Konvergenz prüfen

Hallo;

ist der Lösungsweg (Minorantenkriterium) bei dem Beispiel im Anhang richtig?

Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar!!

Beste Grüße;

edit von sulo: Aufforderungen, die Lösung zu überprüfen, haben nichts im Titel verloren. Entfernt.

31.01.2013, 10:50

Guppi12

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Nein, das ist nicht richtig. Jetzt weißt du nur, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist. Sie kann aber immer noch konvergent sein. Schau dir den ersten Teil mit dem cos nochmal genau an. Welche Werte nimmt der an?

31.01.2013, 11:19

antifx

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Hey,

vielen Dank für deine Antwort.

cos --> +/- 1

Leibnitzkriterium

Wie erkenne ich jetzt, ob im Zähler der Ausdruck unter der eckigen Klammer größe/kleiner ist als der vor dem Minus?

Vielen Dank noch einmal,
beste Grüße

31.01.2013, 11:42

Guppi12

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Einfacher wäre es, stattdessen zu zeigen, dass der Quotient aus a_(n+1) und a_n kleinergleich 1 ist.

Wenn du es aber so machen willst, hilft dir die Ungleichung vom arithmetisch geometrischen Mittel.

Offenbar gilt für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(n+2)\cdot n} \leq \frac{1}{2} (n+2+n) = n+1 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} (n+2)\cdot n \leq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} ((n+2)\cdot n)^{n+2} \leq ((n+1)^2)^{n+2} \end{eqnarray*}$

Das ist deine gewünschte Aussage Augenzwinkern

Edit: Sehe gerade, dass du die gleiche Aussage auch brauchst, wenn du es mit meinem ersten Vorschlag machst, aber der Rechenaufwand ist ein wenig kleiner um dahin zu kommen, wo du die Ungleichung anwenden kannst.

Lg

31.01.2013, 11:48

RavenOnJ

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$\begin{eqnarray*} \cos(n\pi) = (-1)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \cos((n+1)\pi)\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n}\Big(\frac{n+1}{n}\Big)^{n+1} =\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Damit sollte man was anfangen können. Am besten Summanden zu zwei benachbarten Indizes zusammenfassen und gescheite Majorante finden.

31.01.2013, 12:02

Jello Biafra

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Zitat:

Original von Guppi12
=> $\begin{eqnarray*} (n+2)\cdot n \leq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Wozu denn hier AMGM? Das folgt doch direkt aus

$\begin{eqnarray*} (n+2)\cdot n=(n+1)^2-1. \end{eqnarray*}$

Im übrigen ist die Sache hier auch schnell erledigt wenn man im Skript mal zur Definition der Zahl e zurückblättert.
Dort wird i.d.R. gezeigt dass:

$\begin{eqnarray*} b_n:=\left(\frac{n+1}n\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

streng monoton fällt.

Und wegen

$\begin{eqnarray*} a_n=b_n\cdot\frac 1n \end{eqnarray*}$

war's das schon.

31.01.2013, 12:04

antifx

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Hey,
vielen Dank für eure Beiträge;

der zweite Term ist ja e^1 oder?

D.h. ich habe die harmonische Reihe multiplizert mit e^1

Muss ich trotzdem das Leibnitzkriterium anwenden?

31.01.2013, 12:07

Guppi12

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Leute, offensichtlich könnt ihr euch nicht mehr dran erinnern, wie es im ersten Semester war.
Man freut sich, wenn man auf was kommt ok? Danke für die Info, das alles auch viel einfacher geht und im Grunde eh alles trivial ist...

31.01.2013, 12:37

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Guppi12
im Grunde eh alles trivial ist...

das hat doch niemand behauptet. Aber man kann doch froh sein, wenn man einen einfachereren Weg präsentiert bekommt. Kein Grund pampig zu werden.

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