Eigenwertproblem

31.01.2013, 10:44

Malisinha

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Eigenwertproblem

Meine Frage:
Sei V ein Hilbertraum und H: V--> V ein hermitescher Operator. Die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda _{i} \end{eqnarray*}$ mit i=1,... von H seien aufsteigend geordnet, also $\begin{eqnarray*} \lambda _{i} \geq \lambda _{j} \end{eqnarray*}$ wenn i größer als j. $\begin{eqnarray*} \phi_{i} \end{eqnarray*}$ sei eine orthonormale Basis von V, für die zusätzlich gilt
$\begin{eqnarray*} H\phi_{i}=\lambda _{i}\phi_{i} \end{eqnarray*}$
Zeige, dass dann der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} <\psi| H\psi> \end{eqnarray*}$ für ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} \psi\in V \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} <\psi| \psi>=1 \end{eqnarray*}$ , immer größer oder gleich $\begin{eqnarray*} \lambda _{1} \end{eqnarray*}$ ist.
Weiß nicht, wie ich bei dieser Aufgabenstellung vorgehen soll. Kann da jemand behilflich sein?
Danke im Voraus!

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre in mein Erwartungswert die Gleichung einzusetzen und dann die das Skalarprodukt einfach umzuwandeln bis ich auf ein gescheites Ergebnis komme. Ansonsten weiß ich selber nicht, wie ich vorgehen soll.

31.01.2013, 11:13

Che Netzer

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RE: Eigenwertproblem
Da du eine Orthonormalbasis gegeben hast, kannst du $\begin{eqnarray*} H\psi \end{eqnarray*}$ umschreiben. Danach nutze die Linearität des Skalarprodukts.

Letzteres kannst du übrigens mit \langle und \rangle schreiben: $\begin{eqnarray*} \langle\psi,H\psi\rangle \end{eqnarray*}$ .

04.02.2013, 10:13

Malisinha

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Also ich habe das mir nochmal angeschaut und Folgendes zur Lösung:
Da die Wellenfunktion keine Eigenfunktion des hermiteschen Operators ist, kann sie nur zur Berechnung des Erwartungswertes dienen ( so, wie es in der Aufgabe steht).
Die Eigenfunktionen, die meinen Raum aufspannen, stellen durch Linearkombination meine Wellenfunktion dar, etwa so:
$\begin{eqnarray*} \psi=c_{i}\phi _{i} \end{eqnarray*}$
Eingesetzt in die Eigenwertgleichung: $\begin{eqnarray*} H\psi=c_{i} \lambda _{i} \phi _{i} \end{eqnarray*}$
Es lässt sich keine Konstante ausklammern, da $\begin{eqnarray*} \lambda _{i} \end{eqnarray*}$ ,wie in der Aufgabe schon steht aufsteigend ist und $\begin{eqnarray*} c _{i} \end{eqnarray*}$ aufgrund der linearen Abhängigkeit nicht gleich sind.
Ist das eigentlich das, was in der Aufgabe verlangt wurde?
Mein zweiter Lösungsansatz wäre: $\begin{eqnarray*} \langle\psi|H\psi\rangle \end{eqnarray*}$
dann habe ich, wie schon hier im Beitrag geschrieben, umgeformt :
$\begin{eqnarray*} \langle\sum\limits_{i=1}^n c_{i} \phi _{i} |H\sum\limits_{i=1}^n c_{i} \phi _{i}\rangle \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} H\sum\limits_{i=1}^n c_{i}\phi _{i}=\sum\limits_{i=1}^n c_{i}H\phi _{i}=\sum\limits_{i=1}^n c_{i} \lambda _{i} \phi _{i} \end{eqnarray*}$ und dann weiß ich leider nicht weiter Erstaunt2

Erstaunt2

04.02.2013, 10:20

Che Netzer

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Zitat:

Original von Malisinha
Die Eigenfunktionen, die meinen Raum aufspannen, stellen durch Linearkombination meine Wellenfunktion dar, etwa so:
$\begin{eqnarray*} \psi=c_{i}\phi _{i} \end{eqnarray*}$

Rechts sollte allerdings ein Summenzeichen stehen.

Zitat:

Eingesetzt in die Eigenwertgleichung: $\begin{eqnarray*} H\psi=c_{i} \lambda _{i} \phi _{i} \end{eqnarray*}$

Genau (wieder mit gedachter Summe).

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \langle\sum\limits_{i=1}^n c_{i} \phi _{i} |H\sum\limits_{i=1}^n c_{i} \phi _{i}\rangle \end{eqnarray*}$

So stimmt das noch (zumindest wenn das ganze wirklich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensional sein soll), rechts kannst du aber obige Gleichung einsetzen. Danach ausmultiplizieren und nutzen, dass die $\begin{eqnarray*} \phi_i \end{eqnarray*}$ eine Orthonormalbasis bilden.

04.02.2013, 10:33

Malisinha

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$\begin{eqnarray*} \langle\sum\limits_{i=1}^n c_{i} \phi _{i} |\sum\limits_{i=1}^n c_{i} \lambda _{i} \phi _{i}\rangle \end{eqnarray*}$

und jetzt kann ich einfach so ausmultiplizieren. Kannst du mir sagen, warum ich das einfach so machen kann?

04.02.2013, 10:43

Che Netzer

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Weil das Skalarprodukt (sesqui-)linear ist.

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04.02.2013, 21:30

Malisinha

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wie kann ich das aufschreiben??

04.02.2013, 21:32

Che Netzer

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Was denn? Du musst doch nur alles ausmultiplizieren.

04.02.2013, 21:39

Malisinha

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ok, also ich würde es so hinschreiben (weiß aber nicht, ob es richtig ist) : $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n c_{i} ^{2}\lambda _{i}\phi _{i} ^{2} \end{eqnarray*}$
richtig?

04.02.2013, 21:42

Che Netzer

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Wenn ihr im Komplexen seid, müsste es $\begin{eqnarray*} \lvert c_i\rvert^2 \end{eqnarray*}$ heißen.
Und was soll $\begin{eqnarray*} \phi_i^2 \end{eqnarray*}$ sein?

04.02.2013, 21:46

Malisinha

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ich habe es ausmultipliziert Big Laugh

Big Laugh

. Kann ich das nicht machen Eigenfunktion mal Eigenfunktion? Wäre aber dann gleich 1 oder?

04.02.2013, 21:49

Che Netzer

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Es ist $\begin{eqnarray*} \langle\phi_i,\phi_i\rangle=1 \end{eqnarray*}$ , wenn du das meinst.
Danach kannst du nutzen, dass die Eigenwerte aufsteigend angeordnet sind.

Und nochmal: Betrachtet ihr das ganze wirklich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensional?

04.02.2013, 21:56

Malisinha

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also ich habe das n einfach stehen gelassen. Ich hatte das vom formeleditor nicht weggemacht. Macht das aber einen Unterschied?

04.02.2013, 21:59

Che Netzer

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Und ob das einen Unterschied macht.
Es ist doch wohl etwas anderes, wenn man über endlich viele oder über abzählbar viele Terme summiert.

04.02.2013, 22:10

Malisinha

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Stimmt, hast Recht. Also hätte ich das, was von mir verlangt wurde in der Aufgabenstellung, schon gezeigt. Gibt es noch etwas, was ich zu beachten habe?

04.02.2013, 22:13

Che Netzer

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Wo hast du das gezeigt?

04.02.2013, 22:17

Malisinha

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In der Aufgabenstellung steht ja schon, dass $\begin{eqnarray*} \lambda _{i} \end{eqnarray*}$ steigend ist

04.02.2013, 22:18

Che Netzer

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Aber wo genau hast du denn $\begin{eqnarray*} \langle\psi,H\psi\rangle\geq\lambda_1 \end{eqnarray*}$ gezeigt?

04.02.2013, 22:32

Malisinha

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ich habe ja am Ende das heraus:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1} | c_{i} | ^{2}\lambda _{i}\geq \lambda _{1} \end{eqnarray*}$ und dann könnte man argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} | c_{i} | ^{2} \end{eqnarray*}$ ein positiver Vorfaktor ist und dazu beiträgt, dass der Erwartungswert immer größer oder gleich lambda 1 ist.

04.02.2013, 23:19

RavenOnJ

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Wenn du dann noch reinbringst, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty |c_i|^2 = 1 \end{eqnarray*}$ , da die $\begin{align*} \psi \end{align*}$ normiert sind, dann stimmt es.

05.02.2013, 09:13

Malisinha

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ok, dann wäre das alles dann geklärt. Danke für die Hilfe Freude

Freude

!!!!!

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