Spektrum des Multiplikationsoperators bestimmen

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31.01.2013, 11:54	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Spektrum des Multiplikationsoperators bestimmen Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} a,b\in\mathbb{R}, a\neq b, g\in\mathcal{C}([a,b]) \end{eqnarray}$ . Bestimme das Spektrum des Multiplikationsoperators $\begin{eqnarray} M_g\colon\mathcal{C}([a,b])\to\mathcal{C}([a,b]), (M_gx)(s):=g(s)x(s), s\in [a,b] \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Kann man allgemein sagen, wie man bei solchen Aufgaben vorgeht? Man hat ja quasi zwei Möglichkeiten: 1.) Resolventenmenge bestimmen; das Spektrum ergibt sich als Komplement 2.) Punktspektrum, kontinuierliches Spektrum und Restspektrium "abklappern", daraus das Spektrum als Vereinigung erhalten Welches Vorgehen ist "klüger" - bei dieser Aufgabe und im Allgemeinen? Oder lässt sich das allgemein nicht sagen und man muss wirklich von Aufgabe zu Aufgabe entscheiden, was wohl besser zur Lösung führt?
31.01.2013, 13:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektrum des Multiplikationsoperators bestimmen Ein allgemeines Verfahren zum Bestimmen eines Spektrums gibt es nicht. Hier kann man sich aber überlegen, wie die Inverse zu $\begin{eqnarray} x\mapsto (g-\lambda) x \end{eqnarray}$ aussehen müsste und wann diese wohldefiniert (und stetig) ist.
31.01.2013, 13:32	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektrum des Multiplikationsoperators bestimmen Ich habe es nun so gemacht, dass ich die Resolventenmenge bestimmt habe, diese ist meines Erachtens $\begin{eqnarray} p(M_g)=\left\{\lambda\in\mathbb{K}\|\lambda\notin\mbox{rg}(g)\right\} \end{eqnarray}$ . (Für diese $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist nämlich $\begin{eqnarray} \lambda\mbox{Id}-M_g \end{eqnarray}$ bijektiv, d.h. die Inverse existiert.) Demnach ist dann das Spektrum gerade das Bild von g.
31.01.2013, 13:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektrum des Multiplikationsoperators bestimmen Bezeichnet ihr die wirklich mit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ oder nicht doch eher mit $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ ? Und ja, das Ergebnis stimmt. Das funktioniert aber nur so, weil das Bild von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist. Gäbe es Randpunkte außerhalb des Bildes (z.B. bei beschränktem $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ möglich), so könnte man zwar für diese eine Inverse finden, die aber nicht beschränkt wäre.
31.01.2013, 13:38	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektrum des Multiplikationsoperators bestimmen Wir bezeichnen die Resolventemenge ebenfalls mit $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ . Warum ist das Bild von g abgeschlossen?
31.01.2013, 13:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektrum des Multiplikationsoperators bestimmen $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ist stetig und auf dem kompakten Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ definiert
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31.01.2013, 13:59	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektrum des Multiplikationsoperators bestimmen Achja. Dann würde ich gerne das mit dem Spektrum noch ein bisschen üben, vielleicht an dieser weiteren Aufgabe (oder soll ich dafür lieber einen eigenen Thread eröffnen?): Der Operator ist $\begin{eqnarray} A\colon L_2(0,1)\to L_2(0,1), (Ax)(t)=(t+1)x(t) \end{eqnarray}$ . (a) Zeige A ist beschränkt, schätze die Norm von A nach oben ab. (b) Berechne die Eigenwerte von A. (c) Bestimme das Spektrum von A. Zu (a): $\begin{eqnarray} \lVert A\rVert^2=\sup\limits_{\lVert x\rVert=1}\lVert Ax\rVert^2=\sup\limits_{\lVert x\rVert=1}\int\limits_0^1\lvert (t+1)x(t)\rvert^2\, dt=\sup\limits_{\lVert x\rVert=1}\int\limits_0^1\lvert t+1\rvert^2\lvert x(t)\rvert^2\, dt\leq 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow\lVert A\rVert\leq 2 \end{eqnarray}$ Und daher $\begin{eqnarray} \lVert Ax\rVert\leq \lVert A\rVert\cdot\lVert x\rVert=2\lVert x\rVert \end{eqnarray}$ . Also ist A beschränkt. Zu (b): $\begin{eqnarray} Ax(t)=(t+1)x(t)=\lambda x(t)\Leftrightarrow \lambda=(t+1) \end{eqnarray}$ Ist's das schon?! Zu (c): Sollte man hier wieder so vorgehen, dass man die Resolventenmenge zu bestimmen versucht? Also, wenn (b) stimmt, hat man ja schonmal das Punktspektrum.
31.01.2013, 14:06	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Eigenwerte sollten nicht von t abhängig sein.
31.01.2013, 14:10	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wusste nicht, wie ich es anders berechnen kann: $\begin{eqnarray} Ax=\lambda x\Leftrightarrow Ax/x=\lambda \end{eqnarray}$ ... aber das kann ja auch nicht stimmen.
31.01.2013, 14:14	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektrum des Multiplikationsoperators bestimmen Wie lauten denn die Eigenwerte in b)? Und zur c) kannst du eigentlich genauso vorgehen wie beim letzten Operator.
31.01.2013, 14:15	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Eigenwerte kann man hier nicht durch eine einzige Division bestimmen, bzw sehe ich nicht wie das möglich wäre. Nimm ein Element ungleich Null aus L2, nehme an, es gäbe einen Eigenwert und erhalte einen Widerspruch. Kannst auch direkt argumentieren, dass $\begin{eqnarray} A-\lambda \operatorname{id} \end{eqnarray}$ injektiv ist.
31.01.2013, 14:30	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich glaube, ich habe verstanden. Es gibt keine Eigenwerte, denn angenommen es gäbe ein $\begin{eqnarray} x\in L_2(0,1), x\neq 0 \end{eqnarray}$ und dazu einen Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , so wäre $\begin{eqnarray} Ax=\lambda x \end{eqnarray}$ , d.h. für alle $\begin{eqnarray} t\in (0,1) \end{eqnarray}$ müsste gelten $\begin{eqnarray} \lambda=(t+1) \end{eqnarray}$ , was natürlich nicht möglich ist bzw. die Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn $\begin{eqnarray} x\equiv 0 \end{eqnarray}$ , d.h., wenn $\begin{eqnarray} \lambda\mbox{Id}-A \end{eqnarray}$ injektiv ist. Okay, daraus schließe ich für (c) zweierlei Dinge: Ich soll dort das Spektrum bestimmen, das Punktspektrum ist schonmal leer. Ich muss also noch das kontinuierliche Spektrum und das Restpektrum bestimmen. Oder aber ich schaue, für welche $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ auch noch gilt, daß $\begin{eqnarray} \lambda\mbox{Id}-A \end{eqnarray}$ surjektiv ist, dann hätte ich die Resolventenmenge und könnte das Spektrum als das Komplement hiervon ermitteln. Ich glaube, der zweite Weg ist einfacher, oder?
31.01.2013, 14:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Eigenwerte stimmen jetzt. Das Spektrum kannst du eigentlich genauso bestimmen wie das zu Beginn des Threads. Bis auf die verwendete Norm haben wir hier ja fast einen Spezialfall dessen.
31.01.2013, 15:02	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, daß das Spektrum leer ist?
31.01.2013, 15:14	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das kann nicht sein. Du hast doch davor gezeigt, dass der Operator beschränkt ist.
31.01.2013, 15:17	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin gerade wohl ein bisschen verwirrt. Ich wollte es wie oben machen und die Resolventenmenge bestimmen, nicht gut?
31.01.2013, 15:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, wie gesagt, du kannst es genau wie oben machen. Wie müsste die Inverse aussehen (wenn existent) und wann ist diese wohldefiniert und stetig?
31.01.2013, 15:51	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Also im ersten Beipiel musste die Inverse doch sein: $\begin{eqnarray} y\mapsto\frac{y}{\lambda-g} \end{eqnarray}$ und wohldefiniert war dies, wenn $\begin{eqnarray} \lambda\neq g(t)~\forall~t\in [a,b] \end{eqnarray}$ . Was meint Du damit, dass man jetzt noch schauen muss, wann sie stetig ist? Bei der zweiten Aufgabe weiß ich nicht genau, wie ich die Inverse aufschreiben kann: $\begin{eqnarray} y\mapsto \frac{y}{\lambda-A} \end{eqnarray}$ ?
31.01.2013, 16:06	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie würdest du denn aus $\begin{eqnarray} (t+1)x(t) \end{eqnarray}$ wieder auf $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ kommen?
31.01.2013, 16:10	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, dann ist die Inverse im Falle der Existenz gegeben durch $\begin{eqnarray} y\mapsto\frac{y}{\lambda-(t+1)} \end{eqnarray}$ ?
31.01.2013, 16:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau. Und jetzt überlege dir, wann dadurch wirklich ein beschränkter linearer Operator von $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ definiert wird.
31.01.2013, 16:34	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also ich glaube, so langsam fällt der Groschen. Damit der inverse Operator wohldefiniert ist, muss gelten, daß $\begin{eqnarray} \lambda\neq (t+1) \end{eqnarray}$ , und da $\begin{eqnarray} t\in (0,1) \end{eqnarray}$ , bedeutet dies, daß $\begin{eqnarray} \lambda\notin (1,2) \end{eqnarray}$ gelten muß. Gilt $\begin{eqnarray} \lambda\notin (1,2) \end{eqnarray}$ , ist $\begin{eqnarray} \lambda\mbox{Id}-A \end{eqnarray}$ injektiv. Zudem ist $\begin{eqnarray} \lambda\mbox{Id}-A \end{eqnarray}$ sowieso auch surjektiv, denn sei $\begin{eqnarray} y\in L_2(0,1) \end{eqnarray}$ und definiere $\begin{eqnarray} x(t):=\frac{y(t)}{(\lambda-(t+1)} \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} (\lambda\mbox{Id}-A)(x(t))=y(t) \end{eqnarray}$ . Es ist also jetzt gezeigt, daß die Inverse existiert. Vorläufig würde ich also sagen, daß die Resolventenmenge $\begin{eqnarray} \rho(A)=\left\{\lambda\in\mathbb{K}:\lambda\notin (1,2)\right\} \end{eqnarray}$ lautet. Nun soll ja aber zudem gelten, daß die Inverse in $\begin{eqnarray} \mathcal{L}(L_2(0,1)) \end{eqnarray}$ liegt, also linear und stetig ist. Das ist also noch zu zeigen (das meintest Du wohl auch schon ganz Anfang dieses Threads damit, daß man eben auch schauen müsse, wann die Inverse linear und stetig ist.) Aber da weiß ich jetzt noch nicht, wie ich das untersuchen kann, für welche $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ dies gilt.
31.01.2013, 16:41	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt wäre dein Spektrum $\begin{eqnarray} (1,2) \end{eqnarray}$ , das ist aber nicht kompakt. Das Problem bei diesen Werten war ja, dass im Nenner eine Nullstelle für $\begin{eqnarray} t\in(0,1) \end{eqnarray}$ auftritt. Für welche $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ könnten denn noch Singularitäten zustande kommen?
31.01.2013, 16:53	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Beispiel auch $\begin{eqnarray} \lambda\in\mathbb{C} \end{eqnarray}$ , für die $\begin{eqnarray} \lvert\lambda\rvert\in (1,2) \end{eqnarray}$ .
31.01.2013, 16:55	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, für die ist alles in Ordnung. Aber ist denn $\begin{eqnarray} \frac1x \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ quadratisch integrierbar?
31.01.2013, 17:12	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das Integral divergiert dann. Ich komme dann darauf, daß $\begin{eqnarray} \lambda\notin (1,3) \end{eqnarray}$ , aber dann ist das Spektrum ja wieder nicht kompakt...
31.01.2013, 17:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher kommt denn die Drei? Ich wollte darauf hinaus, dass wir für $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ im Nenner hätten, was auch eine Singularität ergibt. Die Frage ist ja: Für welche $\begin{eqnarray} \lambda\in\mathbb C \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} t\mapsto\frac1{\lambda-(t+1)} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (0,1)\ni t \end{eqnarray}$ quadratisch integrierbar?
31.01.2013, 17:23	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich habe auch geguckt, für welche $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ im Nenner nur das t übrigbleibt. Und da dachte ich halt, man müsse $\begin{eqnarray} \lambda-(t+1)=t\Leftrightarrow\lambda=2t+1 \end{eqnarray}$ lösen und da $\begin{eqnarray} t\in (0,1) \end{eqnarray}$ , dachte ich, daß damit $\begin{eqnarray} \lambda\notin 2\cdot (0,1)+1=(1,3) \end{eqnarray}$ wäre.
31.01.2013, 17:24	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sollte doch eher $\begin{eqnarray} \lambda-(t+1) \end{eqnarray}$ nicht Null werden - auch nicht auf dem Rand.
31.01.2013, 17:28	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bin ich ein bisschen verwirrt. Damit im Nenner nicht 0 steht, muss $\begin{eqnarray} \lambda\notin (1,2) \end{eqnarray}$ gelten... Und wieso sollte nun auch gelten, daß $\begin{eqnarray} \lambda\neq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda\neq 2 \end{eqnarray}$ ? Edit: Ich habe die Aufgabe einer Klausur einer mir fremden Universität entnommen und bin daher mit deren Notation nicht vertraut; vielleicht ist ja $\begin{eqnarray} L_2(0,1)=L_2([0,1]) \end{eqnarray}$ gemeint? Würde das die Lage nicht klarer machen? Ergäbe sich dann nicht bereits dadurch, daß man im Nenner die 0 vermeiden muss, daß das Spektrum vermutlich $\begin{eqnarray} [1,2] \end{eqnarray}$ lautet? Ich sage "vermutlich", weil man ja nun immer noch testen muss, ob der inverse Operator mit diesem Werten auch linear und beschränkt (stetig) ist, oder?
31.01.2013, 18:03	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sollte das für einen Unterschied machen, ob man (0,1) oder [0,1] betrachtet? Denke drüber nach und beantworte die Frage selber. Das Inverse eines linearen Operators ist stets wieder linear, das lernt man sehr früh. Und wegen dem Satz von der offenen Abbildung braucht man sich um die Stetigkeit keine Gedanken zu machen.
31.01.2013, 18:05	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Dennoch ist mir nicht klar, wieso das Spektrum [1,2] lautet... d.h. wieso man 1 und 2 hinzunimmt.
31.01.2013, 18:10	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil $\begin{eqnarray} t\mapsto \frac{1}{t} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t\mapsto \frac{1}{1-t} \end{eqnarray}$ nicht in L2(0,1) liegen.
31.01.2013, 18:12	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt kapiere ich endlich!! Danke an Dich und einen ebenso herzlichen Dank an Che Netzer! Dieser Thread war sehr lehrreich für mich. Edit: Das heißt, ich bin jetzt fertig, oder? Denn wie Du gesagt hast, muss ich über die Linearität und die Stetigkeit gar nicht mehr nachdenken?
31.01.2013, 18:14	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ums noch genauer zu sagen, dass 1 und 2 auch im Spektrum liegen, liegt dadran, dass dann der Operator $\begin{eqnarray} \lambda\mathrm{id}-A \end{eqnarray}$ nicht surjektiv ist, mit meiner Begründung grade ist ja nur gezeigt, dass der Operator, der sonst als Inverses Funktioniert, nicht wohldefiniert ist. Edit: Wenn dir klar ist, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, und du erkennst, dass diese erfüllt sind, dann ja.

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